On the existence of group localization under large-cardinal axioms

• Autores: Carles Casacuberta i Vergés, Dirk Scevenels
• Localización: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A: Matemáticas ( RACSAM ), ISSN-e 1578-7303, Vol. 95, Nº. 2, 2001, págs. 163-170
• Idioma: inglés
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    Uno de los problemas abiertos más antiguos de la teoría de grupos categórica es si todo par ortogonal (formado por una clase de grupos y una clase de homomorfismos que se determinan mutuamente por ortogonalidad en el sentido de Freyd-Kelly) se halla asociado a un funtor de localización. Se sabe que esto es cierto si se acepta la validez de un cierto axioma de cardinales grandes (el principio de Vopënka), pero no se conoce ninguna demostración mediante los axiomas ordinarios (ZFC) de la teoría de conjuntos. También es sabido que la respuesta es afirmativa en ZFC para cualquier par ortogonal generado por un conjunto de grupos o por un conjunto de homomorfismos. En este artículo se usan ideas de Adámek-Rosický y Dugas-Göbel para probar que: (a) existen pares ortogonales que no están generados por ningún conjunto de grupos; (b) la afirmación de que todo par ortogonal está generado por un conjunto de homomorfismos no puede demostrarse en ZFC y sin embargo su veracidad se deduce del principio de Vopênka.

  • English

    A long-standing open question in categorical group theory asks if every orthogonal pair (consisting of a class of groups and a class of group homomorphisms determining each other by orthogonality in the sense of Freyd-Kelly) is associated with a localization. This is known to be true if one assumes the validity of a suitable large-cardinal axiom (Vop?enka's principle), but so far no proof has been given using the ordinary ZFC axioms of set theory. The answer is affirmative in ZFC if the orthogonal pair is generated by a set of groups or by a set of homomorphisms. In this article we use ideas of Ad¿amek- Rosick¿y and Dugas-G¿obel to show that (a) there exist orthogonal pairs which are not generated by any set of groups; (b) the statement that every orthogonal pair is generated by a set of homomorphisms cannot be proved in ZFC, but it follows from Vop?enka's principle