Goodstein's function

• Autores: Andrés Eduardo Caicedo
• Localización: Revista Colombiana de Matemáticas, ISSN-e 0034-7426, Vol. 41, Nº. 2, 2007, págs. 381-391
• Idioma: inglés
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• Resumen
  • español

    La función de Goodstein $\G:\N\to\N$ es un ejemplo de una función recursiva {\em de crecimiento rápido}. Introducida en 1944 por R. L. Goodstein \cite{Goodstein}, Kirby y Paris \cite{KirbyParis} demostraron en 1982, usando técnicas de teorí{}a de modelos, que el resultado de Goodstein de que $\G$ es {\em total}, es decir, que $\G(n)$ está definida para todo $n\in\N$, no es un teorema de la Aritmética de Peano de primer orden. Calculamos la función de Goodstein en términos de la jerarquí{}a de funciones de crecimiento rápido de Löb y Wainer; usando esto y resultados clásicos de teorí{}a de la demostración acerca de esta jerarquí{}a, el teorema de Kirby y Paris se sigue de inmediato. También calculamos las funciones de la jerarquí{}a de Hardy en términos de las funciones de Löb y Wainer, con lo que obtenemos una nueva demostración de un resultado similar, debido a Cichon \cite{Cichon}.

  • English

    Goodstein's function $\G:\N\to\N$ is an example of a {\em fast growing} recursive function. Introduced in 1944 by R. L. Goodstein \cite{Goodstein}, Kirby and Paris \cite{KirbyParis} showed in 1982, using model theoretic techniques, that Goodstein's result that $\G$ is {\em total}, i.e., that $\G(n)$ is defined for all $n\in\N$, is not a theorem of first order Peano Arithmetic. We compute Goodstein's function in terms of the Löb-Wainer fast growing hierarchy of functions; from this and standard proof theoretic results about this hierarchy, the Kirby-Paris result follows immediately. We also compute the functions of the Hardy hierarchy in terms of the Löb-Wainer functions, which allows us to provide a new proof of a similar result, due to Cichon \cite{Cichon}.