El problema de pi-geografía y el problema de Hurwitz

• Autores: Carlos A. Cadavid, Juan D. Vélez
• Localización: Ingeniería y ciencia, ISSN-e 1794-9165, Vol. 5, Nº. 9, 2009, págs. 91-122
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • The \pi-geography problem and the Hurwitz problem
  • O problema da \pi geografia e o problema de Hurwitz
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• Resumen
  • español

    Sea d>=2 un entero y \pi una partición de d. En este artículo se estudia el problema de para qué pares de enteros (a,b) existe un recubrimiento ramificado F:\Sigma --> D^2 = {z perteneciente C: |z| <= 1}que tenga a valores críticos, \chi(\Sigma) = -b, y tal que la monodromía que se obtiene cuando se recorre la frontera de D^2 en sentido positivo pertenece a la clase de conjugancia en el grupo simétrico S_d determinada por la partición \pi. Se estudian cuatro variantes de este problema: i) sin requerir conexidad del dominio, ii) requiriendo conexidad del dominio, iii) sin requerir conexidad del dominio, pero exigiendo que el recubrimiento sea semiestable, iv) requiriendo que el dominio sea conexo y que el recubrimiento sea semiestable. Se obtienen soluciones completas de las primeras dos variantes, y se obtiene una solución parcial de las variantes restantes. Además se explica cómo el interés por estos problemas surge del estudio de una pregunta análoga para funciones cuyo dominio es 4-dimensional.

  • English

    Let d > 2 be an integer and let  be a partition of d. This article aims to determine for which pairs of integers (a, b) there exists a branched cover F :  ! D2 = {z 2 C : |z| 6 1} with () = -b and having a critical values, such that the monodromy obtained when traversing the boundary of D2 once and positively belongs to the conjugacy class in the symmetric group Sd determined by . Four variants of this question are studied: i) without requiring the connectedness of the domain, ii) requiring the connectedness of the domain, iii) without requiring the connectedness of the domain but requiring the semistability of the map, iv) requiring the connectedness of the domain and the semistability of the map. Complete solutions are obtained of the first two variants, and partial solutions are obtained of the remaining variants. The article also explains how these questions arise when analogous questions for maps whose domain is four dimensional are studied.

  • português

    Seja d > 2 um inteiro e  uma partiçao de d. Nesse artigo se estuda o problema de para quais pares de inteiros (a, b) existe um recobrimento ramificado F :  ! D2 = {z 2 C : |z| 6 1} que tenha a valores cryticos, () = -b, e tal que a monodromia que se obtém quando se recorre a fronteira de D2 no sentido positivo pertence `a classe de conjugancia no grupo simetrico Sd determinado pela partiçao . Estuda-se quatro vari´aveis deste problema: i) sem requerer conexidade do domynio; ii) requerendo conexidade do domynio; iii) sem requerer conexidade do domynio, por em exigindo que o recobrimento seja semi-estavel; iv) requerendo que o domynio seja conexo e que o recobrimento seja semi-estavel. Obtém-se soluçoes completas das duas primeiras variáveis, e obtém-se uma soluçao parcial das variáveis restantes. Al em disso, explica-se como o interesse por estes problemas surge do estudo de uma pergunta analoga para funçoes cujo domynio é 4-dimensional.