Sobre la continuidad de la aplicación raíz cuadrada de isomorfismos no negativos en espacios de Hilbert

• Muentes Acevedo, Jeovanny de Jesus ^[1]
  1. [1] Universidade de São Paulo

     Universidade de São Paulo

     Brasil

     
• Localización: Integración: Temas de matemáticas, ISSN 0120-419X, Vol. 33, Nº. 1, 2015 (Ejemplar dedicado a: Revista Integración), págs. 11-26
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • On the continuity of the map square root of nonnegative isomorphisms in Hilbert spaces
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• Resumen
  • español

    Sea H un espacio de Hilbert real (o complejo). Todo operador no negativo L ∈ L(H) admite una única raíz cuadrada no negativa R ∈ L(H), esto es, un operador no negativo R ∈ L(H) tal que R2 = L. Sea GL+S (H) el conjunto de los isomorfismos no negativos en L(H). Primero probaremos que GL+S (H) es una variedad de Banach (real). Denotando como L1/2 la raíz cuadrada no negativa de L, en [3] Richard Bouldin prueba que L1/2 depende continuamente de L (esta prueba es no trivial). Este resultado tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, es usado para encontrar la descomposición polar de un operador limitado. Esta descomposición polar nos lleva a determinar los subespacios espectrales positivos y negativos de cualquier operador autoadjunto, y además, lleva a definir el índice de Máslov. El autor de este artículo da una prueba alternativa (y un poco más simplificada) de que L1/2 depende continuamente de L, y además, prueba que la aplicaciónR : GL+S (H) → GL+S (H)L → L1/2es un homeomorfismo.

  • English

    Let H be a real (or complex) Hilbert space. Every nonnegative operator L ∈ L(H) admits a unique nonnegative square root R ∈ L(H), i.e., a nonnegative operator R ∈ L(H) such that R2 = L. Let GL+S (H) be the set of nonnegative isomorphisms in L(H). First we will show that GL+S (H) is a convex (real) Banach manifold. Denoting by L1/2 the nonnegative square root of L. In [3], Richard Bouldin proves that L1/2 depends continuously on L (this proof is non-trivial). This result has several applications. For example, it is used to find the polar decomposition of a bounded operator. This polar decomposition allows us to determine the positive and negative spectral subespaces of any self-adjoint operator, and moreover, allows us to define the Maslov index. The autor of the paper under review provides an alternative proof (and a little more simplified) that L1/2 depends continuously on L, and moreover, he shows that the mapR : GL+S (H) → GL+S (H)L → L1/2is a homeomorphism.