Resumen de Una nueva visita a la aproximación de Arquímedes a π y su relación con las fracciones continuas

Juan Luis González-Santander Martínez, Germán Martín González

• español

  Se presenta el algoritmo de Arquímedes para la aproximación de π, así como su demostración utilizando funciones trigonométricas. A partir de este algoritmo, se ofrece un sencillo método iterativo para determinar el número mínimo de lados de un polígono regular, tanto inscrito como circunscrito, para que su perímetro se aproxime a π con un error dado. Arquímedes, a lo largo del cálculo en su algoritmo, realiza una serie de aproximaciones racionales: en la iteración inicial (aproximando la raíz cuadrada de 3), en cada una de las aproximaciones racionales de raíces cuadradas de números elevados y en la aproximación final de los racionales obtenidos convirtiéndolos en racionales más simples. Presentamos demostraciones matemáticas de todas estas aproximaciones racionales haciendo uso de las propiedades de las fracciones continuas.

• English

  Archimedes algorithm for approximating π is presented as well as a proof using trigonometric functions. From this algorithm, a simple iterative method for calculating the minimum number of sides of a regular polygon, both inscribed and circumscribed, is provided, so that its perimeter approaches π for a given error. Archimedes, along the calculation in its algorithm, performs a series of rational approximations: in the initial iteration (approximating the square root of 3), in each of the rational approximations of square roots of large numbers and in the approximation of the rationals obtained into more simple rationals. We present mathematical proofs for all these rational approximations by using the properties of continued fractions.