Resumen de Approximate integration through remarkable points using the Intermediate Value Theorem

Jaime Castro Pérez, Andrés González Nucamendi, Gerardo Pioquinto Aguilar Sánchez

• español

  Utilizando el Teorema de Valor Intermedio mostramos que las reglas del Trapecio y la de Simpson son ciertas sumas de Riemann. La técnica con este enfoque nos permite obtener nuevas fórmulas que resultan menos laboriosas que las que se utilizan con métodos como el de interpolación de polinomios o el de las cuadraturas de Gauss. Además, con esta técnica ampliamos el panorama de la integración aproximada al encontrar nuevas fórmulas de esta forma de integrar.

  La metodología que usamos para obtener dicha generalización fue utilizar de la definición de la integral definida mediante sumas de Riemann. Cada suma de Riemann proporciona una aproximación del resultado de una integral. Con la ayuda del Teorema del valor medio y un análisis detallado de las reglas del punto medio, trapecio y Simpson notamos que estas reglas de integración numérica son sumas de Riemann. Los resultados que obtenemos con este análisis nos permitieron generalizar cada una de las reglas antes mencionadas y obtener nuevas reglas de aproximación de integrales. Ya que cada una de las reglas que obtuvimos utiliza un punto en el intervalo las hemos llamado de acuerdo con el punto del intervalo que tomamos. Como conclusión podemos decir que el método que se desarrolla aquí permite dar nuevas fórmulas de integración numérica y generaliza las que ya existen.

• English

  Using the Intermediate Value Theorem we demonstrate the rules of Trapeze and Simpson's. Demonstrations with this approach and its generalization to new formulas are less laborious than those resulting from methods such as polynomial interpolation or Gaussian quadrature. In addition, we extend the theory of approximate integration by finding new approximate integration formulas. The methodology we used to obtain this generalization was to use the definition of the integral defined by Riemann sums. Each Riemann sum provides an approximation of the result of an integral. With the help of the Intermediate Value Theorem and a detailed analysis of the Middle Point, Trapezoidal and Simpson Rules we note that these rules of numerical integration are Riemann sums. The results we obtain with this analysis allowed us to generalize each of the rules mentioned above and obtain new rules of approximation of integrals. Since each of the rules we obtained uses a point in the interval we have called them according to the point of the interval we take.

  In conclusion we can say that the method developed here allows us to give new formulas of numerical integration and generalizes those that already exist.