Resumen de Solution of Fractional Optimal Control Problems with Specified Final State by using Orthogonal Collocation and Differential Evolution

J. V. C. F. Lima, F. S. Lobato, V. Steffen Jr

• español

  En los últimos años, el estudio del Problema de Control Óptimo Fraccionado (FOCP) configura un reto muy interesante debido a las dificultades numéricas inherentes a este tipo de investigación. Tradicionalmente, este problema se ha resuelto considerando tres enfoques diferentes, a saber, estrategias directas e indirectas y la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). La primera consiste en resolver el FOCP mediante la discretización de variables de estado y/o control. El problema de optimización no lineal resultante se resuelve considerando métodos clásicos o heurísticos. Por otro lado, el enfoque indirecto consiste en obtener las condiciones necesarias, es decir, el FOCP original se convierte en un problema de valores en la frontera de dos puntos. La tercera estrategia considera una extensión de la conocida ecuación HJB para sistemas dinámicos de orden fraccionario. En la presente contribución, la solución de FOCP con una variable de estado final especificada se aborda utilizando el enfoque directo. Para ello, se investiga la asociación entre el Método de Colocación Ortogonal (OCM) y el algoritmo de Evolución Diferencial (DE). Para evaluar la metodología propuesta se considera un problema matemático clásico y dos grados de libertad dados por un sistema resorte-masa-amortiguador. Como era de esperar, los resultados indican que la variación del orden fraccionario implica valores diferentes para la función objetivo original. Además, dependiendo del valor del orden fraccionario, puede que no sea posible encontrar una solución que satisfaga las condiciones de contorno para una aplicación determinada. Finalmente, se señala que la metodología propuesta se considera como una estrategia promisoria para solucionar los FOCP.

• English

  In the last years, the study of Fractional Optimal Control Problem (FOCP) configures a very interesting challenge due to numerical difficulties inherent in this type of investigation. Traditionally, this problem has been solved by considering three different approaches, namely, Direct and Indirect strategies and Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) equation. The first consists in solving the FOCP through the discretization of state and/or control variables. The resulting nonlinear optimization problem is solved by considering either classical or heuristic methods. On the other hand, the indirect approach consists in obtaining the necessary conditions, i.e., the original FOCP is converted into a two-point boundary value problem. The third strategy considers an extension of the well-known HJB equation for fractional order dynamic systems. In the present contribution, the solution of FOCP with specified final state variable is addressed by using the direct approach. For this purpose, the association involving the Orthogonal Collocation Method (OCM) and the Differential Evolution (DE) algorithm is investigated. In order to evaluate the proposed methodology, a classical mathematical problem and a two degree-of-freedom given by a spring-mass-damper system are considered. As expected, the results indicate that the variation of the fractional order implies different values for the original objective function. Furthermore, depending on the fractional order value, it may not be possible to find a solution that satisfies the boundary conditions for a given application. Finally, it is pointed out that the proposed methodology is considered as a promising strategy to solve FOCPs.