El axioma de elección en el quehacer matemático contemporáneo

• Galindo, Franklin ^[1] ; Alzate, Randy ^[1]
  1. [1] Universidad Central de Venezuela

     Universidad Central de Venezuela

     Venezuela

     
• Localización: Aitías Revista de Estudios Filosóficos, ISSN-e 2683-3263, Vol. 2, Núm. 3, 2022 (Ejemplar dedicado a: Enero-Junio 2022), págs. 49-126
• Idioma: español
• Títulos paralelos:
  • The axiom of choice in contemporary mathematical work
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    Para matemáticos interesados en problemas de fundamentos, lógico-matemáticos y filósofos de la matemática, el axioma de elección es centro obligado de reflexión, pues ha sido considerado esencial en el debate dentro de las posiciones consideradas clásicas en filosofía de la matemática (intuicionismo, formalismo, logicismo, platonismo), pero también ha tenido una presencia fundamental para el desarrollo de la matemática y metamatemática contemporánea. Desde una posición que privilegia el quehacer matemático, nos proponemos mostrar los aportes que ha tenido el axioma en varias áreas fundamentales de la matemática, su aplicación en la lógica de primer orden, así como una breve descripción de las pruebas de consistencia relativa debidas a Gödel y Cohen, las cuales establecieron su independencia del sistema axiomático Zermelo-Fraenkel (ZF). Con todo lo anterior mostraremos cómo el quehacer matemático contemporáneo se adscribe al platonismo matemático en los términos de Bernays y Ferreirós. Revisaremos también los argumentos de Zermelo y Cantor para permitir el uso de asunciones en la matemática, los cuales se acercan a los planteamientos de la investigación científica y esbozan relaciones con la filosofía de la práctica matemática. Finalmente, justificamos el uso del axioma de elección en la contemporaneidad, abogando por unas relaciones de equidad entre la matemática y la filosofía, presentando además su plena vigencia, a través de la referencia a algunos problemas abiertos en la actualidad que vinculan el axioma de elección con la teoría de Ramsey.

     

  • English

    For mathematicians interested in problems of foundations, logical-mathematicians and philosophers of mathematics, the axiom of choice is an obligatory center of reflection, since it has been considered essential in the debate within the positions considered classic in the philosophy of mathematics (intuitionism, formalism, logicism, platonism), but it has also had a fundamental presence in the development of contemporary mathematics and metamathematics. From a position that privileges the mathematical task, we intend to show the contributions that the axiom has had in several fundamental areas of mathematics, its application in first-order logic, as well as a brief description of the relative consistency tests due to Gödel and Cohen, who established their independence from the Zermelo-Fraenkel (ZF) axiomatic system. With all of the above, we will show how contemporary mathematical work is ascribed to mathematical platonism in the terms of Bernays and Ferreirós. We will also review the arguments of Zermelo and Cantor to allow the use of assumptions in mathematics, which are close to the approaches of scientific research and outline relationships with the philosophy of mathematical practice. Finally, we justify the use of the axiom of choice in contemporary times, advocating for equitable relations between mathematics and philosophy, also presenting its full validity, through reference to some currently open problems that link the axiom of choice with Ramsey theory.