Some observations on a clopen version of the Rothberger property

• Autores: Manoj Bhardwaj, Alexander V. Osipov
• Localización: Cubo: A Mathematical Journal, ISSN 0716-7776, ISSN-e 0719-0646, Vol. 25, Nº. 2, 2023, págs. 161-172
• Idioma: inglés
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    Resumen En este artículo, probamos que una versión clopen S 1 (C O , C O ) de la propiedad de Rothberger y la nulidad de la medida fuerte de Borel son independientes. Para un espacio métrico (X, d) cero-dimensional, X satisface S 1 (C O , C O ) si, y sólo si, X tiene una medida Borel fuerte cero con respecto a cada métrica que tenga la misma topología que d tiene. En un espacio cero-dimensional, el juego G 1 (O,O) es equivalente al juego G 1 (C O , C O ) y el juego punto-abierto es equivalente al juego punto-cerrado. Usando reflexiones, obtenemos que el juego G 1 (C O , C O ) y el juego punto-clopen son estratégicamente y Markov duales. Se entrega un ejemplo de un espacio para el cual el juego G 1 (C O , C O ) es indeterminado.

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    Abstract In this paper, we prove that a clopen version S 1 (C O , C O ) of the Rothberger property and Borel strong measure zeroness are independent. For a zero-dimensional metric space (X, d), X satisfies S 1 (C O , C O ) if, and only if, X has Borel strong measure zero with respect to each metric which has the same topology as d has. In a zero-dimensional space, the game G 1 (O,O) is equivalent to the game G 1 (C O , C O ) and the point-open game is equivalent to the point-clopen game. Using reflections, we obtain that the game G 1 (C O , C O ) and the point-clopen game are strategically and Markov dual. An example is given for a space on which the game G 1 (C O , C O ) is undetermined.