Maximum, anti-maximum principles and monotone methods for boundary value problems for Riemann-Liouville fractional differential equations in neighborhoods of simple eigenvalues

• Autores: Paul W. Eloe, Jeffrey T. Neugebauer
• Localización: Cubo: A Mathematical Journal, ISSN 0716-7776, ISSN-e 0719-0646, Vol. 25, Nº. 2, 2023, págs. 251-272
• Idioma: inglés
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    Resumen Se ha demostrado que, bajo hipótesis apropiadas, problemas de valor en la frontera de la forma Ly + λy = f, BCy = 0, donde L es un operador diferencial lineal ordinario o parcial y BC denota un operador lineal de frontera, entonces existe Λ > 0 tal que f ≥ 0 implica λy ≥ 0 para λ ∈ [−Λ, Λ] \ {0}, donde y es la única solución de Ly + λy = f, BCy = 0. Así, el problema de valor en la frontera satisface un principio del máximo para λ ∈ [−Λ, 0) y el problema de valor en la frontera satisface un anti-principio del máximo para λ ∈ (0, Λ]. En un resultado abstracto, entregaremos hipótesis apropiadas tales que los problemas de valor en la frontera de la forma Dα 0 y + βDα−1 0 y = f, BCy = 0 donde Dα 0 es un operador diferencial fraccionario de Riemann-Liouville de orden α, 1 < α ≤ 2, y BC denota un operador lineal de frontera, entonces existe B > 0 tal que f ≥ 0 implica βDα−1 0 y ≥ 0 para β ∈ [−B, B] \ {0}, donde y es la única solución de Dα 0 y + βDα−1 0 y = f, BCy = 0. Se entregan dos ejemplos en los cuales las hipótesis del teorema abstracto se satisfacen para obtener la propiedad de signo de βDα−1 0y. Las condiciones de frontera se eligen de tal forma de obtener también una propiedad de signo para βy con un análisis adicional. Se desarrolla una aplicación de métodos monótonos para ilustrar la utilidad del resultado abstracto.

  • English

    Abstract It has been shown that, under suitable hypotheses, boundary value problems of the form, Ly + λy = f, BCy = 0 where L is a linear ordinary or partial differential operator and BC denotes a linear boundary operator, then there exists Λ > 0 such that f ≥ 0 implies λy ≥ 0 for λ ∈ [−Λ, Λ] \ {0}, where y is the unique solution of Ly + λy = f, BCy = 0. So, the boundary value problem satisfies a maximum principle for λ ∈ [−Λ, 0) and the boundary value problem satisfies an anti-maximum principle for λ ∈ (0, Λ]. In an abstract result, we shall provide suitable hypotheses such that boundary value problems of the form, Dα 0 y + βDα−1 0 y = f, BCy = 0 where Dα 0 is a Riemann-Liouville fractional differentiable operator of order α, 1 < α ≤ 2, and BC denotes a linear boundary operator, then there exists B > 0 such that f ≥ 0 implies βDα−1 0 y ≥ 0 for β ∈ [−B, B] \ {0}, where y is the unique solution of Dα 0 y+βDα−1 0y = f, BCy = 0. Two examples are provided in which the hypotheses of the abstract theorem are satisfied to obtain the sign property of βDα−1 0y. The boundary conditions are chosen so that with further analysis a sign property of βy is also obtained. One application of monotone methods is developed to illustrate the utility of the abstract result.