El modelo sl2(R) del plano hiperbólico

• García Heras, José L. ^[1]
  1. [1] Universidad Nacional de Educación a Distancia

     Universidad Nacional de Educación a Distancia

     Madrid, España

     
• Localización: Pi-InnovaMath, ISSN-e 2605-1249, Nº. 6, 2023
• Idioma: español
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    Entre los modelos más conocidos del plano hiperbólico se encuentran el semiplano y disco de Poincaré y el del hiperboloide.º En el presente artículo se estudia un nuevo modelo del plano hiperbólico H, basado en el espacio vectorial sl2(R) de las matrices de M2(R) con traza cero (sección 1), donde están definidos el producto escalar y el producto exterior de dos matrices,además de una forma trilineal de tres matrices –forma volumen– mediante el producto escalar de la primera por el producto exterior de las otras dos. Dicha forma volumen define una orientación de H, donde cada punto de H viene dado por una matriz de sl2(R) con determinante 1 y cada geodésica orientada tiene un vector normal que es una matriz con determinante -1; la matriz opuesta define el vector normal de la misma geodésica, con orientación contraria. El modelo anterior y tales herramientas, de algún modo, están presentes en Iversen [1] y, con otra notación, pueden encontrarse también en Fenchel [2]. Aquí se ha pretendido restringir las definiciones lo imprescindible, de manera que los resultados adquieran la mayor generalidad posible. Este modelo del plano hiperbólico y los modelos de Poincaré son isomorfos, y las proyecciones de H en el semiplano y el disco de Poincaré permiten realizar todas las representaciones en cualquiera de estos.Después de las definiciones y resultados previos se analiza, en la sección 2, la posición relativa de dos geodésicas –secantes, paralelas o ultraparalelas–, y en la sección siguiente se estudian los isomorfismos entre los tres modelos aludidos del plano hiperbólico y la representación de circunferencias y triángulos hiperbólicos, definiéndose la potencia de un punto respecto a una circunferencia y obteniéndose las fórmulas del eje radical de dos circunferencias y el centro radical de tres circunferencias, así como las correspondientes a los elementos de un triángulo.La mayoría de los contenidos teóricos pueden encontrarse en [3]. Las representaciones se han realizado en Scientific Notebook y en Geogebra [4].El presente artículo se dirige a los interesados en el estudio de la geometría del plano hiperbólico poco familiarizados con el modelo sl2(R).

  • English

    Among the best known models of the hyperbolic plane are the Poincaré models of the half-plane and the disk and that of the hyperboloid. In this article a new model H of the hyperbolic plane is studied, based on the vector space sl2(R) of the matrices in M2(R) with trace zero (section 1), where the scalar and exterior products of two matrices are defined, and so is a trilinear form of three matrices –volumen form– through the scalar product of the first by the exterior product of the other two. Such volumen form defines an orientation in H, where each point in H is given by one matrix in sl2(R) with determinant 1 and each oriented geodesic has a normal vector given by one matrix with determinant -1; the opposite matrix defines the normal vector of the same geodesic with the opposite orientation. The above model and such tools are somehow present in Iversen [1] and, with another notation, can also be found in Fenchel [2]. Here we have tried to restrict the definitions to what is essential, so that the results acquire the greatest possible generality.This model of the hyperbolic plane and the Poincare’s models are isomorphic, and the projections of H on the half-plane and the disk allow to make all the representations in any of these.

    Next to the previous definitions and results, in chapter 2, we analyse the relative position of two geodesics –secant, parallel or ultraparallel–; then, in chapter 3, we study the isomorphisms between the three models of the hyperbolic plane mentioned above, and so does the representation of hyperbolic circumferences and triangles, being next defined the power of a point with respect to a circle and obtained the formulae for the radical axis of two circles and the radical centre of three circles, as well as those corresponding to the elements of a triangle. The majority of the contents can be found in [3]. The representations have been made using Scientific Notebook and Geogebra [4].This article is addressed to those interested in the study of the geometry of the hyperbolic plane unfamiliar with the sl2(R) model.