Resumen de Ortogonalidad no estándar para familias de polinomios clásicos
María Álvarez de Morales Mercado
La Memoria está dividida en siete capítulos, de extensión similar, donde los cuatro primeros contituyen una parte bien diferenciada de los tres últimos, En la primera parte estudia las sucesiones de polinomios ortogonales asociados a productos escalares de Sobolev. La segunda parte está dedicada al caso discreto. En este caso el producto escalar se define en función del operador en diferencias hacia delante delta, que se llaman por la autora productos escalares delta-Sobolev (por analogía con el caso continuo).
Se observa un avance significativo en este campo de investigación, ya que presenta aportaciones importantes.
Por ejemplo, se hace un estudio completo para ciertos productos escalares de Sobolev asociados a un funcional semiclásico y definido positivo. Se obtiene un operador diferencial lineal, simétrico con respecto al producto escalar, que permite expresar este producto escalar en términos del funcional semiclásico. Consigue condiciones necesarias en un caso particular para que el operador lineal no aumente el grado de los polinomios a los que se aplica. Aportaciones en igual sentido obtiene para el caso discreto. Por otra parte dota de propiedades de ortogonalidad no estándar a familias de polinomios clásicos, tales como los polinomios de Laguerre y a la familia de polinomios de Gegenbauer. También dota de ortogonalidad no estándar a la familia de los polinomios discretos de Meixner demostrando que éstos son ortogonales con respecto a un producto escalar delta-Sobolev.
