Resumen de Construcción de inversas aproximadas tipo "sparse" basada en la proyección ortogonal de Frobenius para el precondicionamiento desistemas de ecuaciones no simétricos
Uno de los problemas actuales más importantes en Álgebra Lineal Numérica es el desarrollo de métodos iterativos paralelizables y eficientes para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, Ax=b, con una matriz de coeficientes A de orden elevado y tipo sparse.
Entre ellos se encuentran los métodos de Krylov que necesitan precondicionadores para ser efectivos. En esta tesis se ha estudiado un tipo de precondicionador algebraico; las inversas aproximadas sparse basadas en la minimización de la norma Frobenius, vía teorema de la proyección ortogonal. El presente trabajo se ha estructurado en tres partes. Primeramente se hace un estudio del estado del arte de los métodos interativos basados en subespacios de Krylov, precondicionadores y técnicas de reordenación, así como las diferentes categorías de técnicas de obtención de aproximada inversa. En la segunda parte se muestran los resultados teóricos para el cálculo de aproximadas inversas mediante proyecciones ortogonales usando el producto escalar de Frobenius, calculándose explícitamente la matriz M0 y la mínima distancia accesible correspondiente a la solucción del problema de minimización en cualquier subespacio S de matrices cuadradas. También se determinan relaciones teóricas particulares para los valores singulares y autovalores de la mejor aproximación en el subespacio AS a la identidad y se realiza un análisis de convergencia para el precondicionador óptimo, cualquiera que sea el subespacio S. En este estudio teórico se completa con la obtención de complementos ortogonales en el sentido de Frobenius y la noción de S-inversa generalizada.
En la tercera parte se muestran los aspectos computacionales para la obtención de la mejor aproximada inversa con un patrón de sparsidad prefijado usando el producto escalar de Frobenius. Se propone un algoritmo para el cálculo de una aproximada inversa mejorada, mostrándose algunas propiedades teóricas de la
