Geometría computaciones en superficies no planas
- Autores: Clara Isabel Grima Ruiz
- Directores de la Tesis: Alberto Márquez Pérez (dir. tes.)
- Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 1998
- Idioma: español
- Número de páginas: 151
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: Idus
- Resumen
De forma general, la Geometría Computaciones trata del estudio de algoritmos que resuelven problemas geométricos con el ordenador. Esta joven disciplina, que nació de una colección de resultados diversos, constituye, debido al auge que hoy en día ha tenido el ordenador, una de las áreas temáticas que más interés ha suscitado. Dicho interés radica, naturalmente, en las importantes e inmediatas aplicaciones de la Geometría Computacional en los distintos campos de las Matemáticas y de gran utilidad como el diseño asistido por ordenador, tratamiento de imágenes, localización, etc. aunque, históricamente, el estudio de la Geometría y los algoritmos puede remontarse hasta hace más de 2000 años, realmente, el estudio sistemático de la Geometría Computaciones comenzó con la prestigiosa Tesis de Shamos en 1978. Antes de dicho trabajo pocos problemas geométricos habían sido estudiados desde el punto de vista algorítmico. Sin embargo, dada la multitud de conexiones entre la Geometría Computaciones y las áreas de aplicación en Informática, es difícil describir la línea que separa los algoritmos geométricos de los demás.
Los surveys de Lee y Preparata, (1984), y Yao, (1990), resumen las distintas interrelaciones de la Geometría Computacional. El primer texto que se centró en un análisis multidimensional fue el tercer volumen de la trilogía de Mehlhorn, (1984). Esta parte de la Geometría Computaciones está particularmente vinculada con el estudio de algoritmos de análisis, como asegura Knuth, (1973). El libro de Preparata y Shamos, (1985), se ha convertido con el paso del tiempo en un clásico de referencia obligada, fijando la terminología, enfocando, principalmente, problemas bidimensionales y, ocasionalmente, tridimensionales. En 1987, O’Rourke publicó un libro enfocado en problemas algorítmicos y combinatorios para polígonos. Por último mencionar que la relación entre la Geometría Discreta y la Geometría Computacional es el tema central del texto de Edelsbrunner, publicado en 1987. Desde entonces otros textos se han publicado, incluso considerando la geometría Computacional desde su aspecto pedagógico.
A pesar de todo lo dicho hasta el momento, son pocos y dispersos los trabajos, que se le han dedico, dentro de la disciplina, al estudio de problemas en superficies. Y consideramos que dichos problemas son suficientemente interesante como para que se le dedique un amplio estudio. La razón es bien obvia, como hemos dicho anteriormente, la Geometría Computacional trata de resolver algorítmicamente problemas de naturaleza geométrica y se ha centrado en problemas dentro del plano u otros espacios euclídeos, pero muchas veces la modelización más adecuada no se puede realizar en espacio euclídeos; el mismo ejemplo, tantas veces citado, del movimiento de robots y con el cual está relacionados muchos problemas de la Geometría Computacional, si tratamos de resolverlo en la práctica, en la mayoría de los casos el robot es un brazo articulado que describe en su trayectoria una superficie algebraica. También podríamos modelizar ciertos fenómenos periódicos en el tiempo a través del cilindro y, por último por no hacer demasiado extensa esta relación que no pretende ser exhaustiva, podrían ocurrir que la entrada (y la salida) de nuestro problema sea un conjunto de puntos en cierta superficie.
Por tanto, es el objetivo de esta memoria, iniciar desde un punto de vista más sistemático, el estudio de la Geometría Computaciones en superficies no planas. Más concretamente, consideramos las superficies del cilindro, el toro, la esfera y ocasionalmente, cuando la situación lo haga especialmente destacable, el cono. La elección de estas superficies, en primer lugar se realizó, por ser las más simples al margen de los espacios euclídeos; después se ha comprobado, que presentaban suficiente peculiaridades y diferencias entre sí y con el caso euclídeo como para que puedan considerarse un buen ejemplo motivador para la continuación del estudio aquí realizado. Evidentemente, ya se habían considerados algunos problemas en estas superficies anteriormente por otros autores, cuando así ha sido, nos hemos limitado a intentar situar al lector en la senda bibliográfica adecuada, aportando algunos comentarios sobre las soluciones aportadas.
Los problemas de Geometría Computacional que hemos considerado también merecen algún tipo de comentario. Evidentemente, hay dos estructuras que no podían ser excluidas de un trabajo con el título como el que aquí presentamos: la envolvente convexa y los diagramas de Voronoi, su importancia en Geometría Computacional es clarísima y no es este el sitio, creemos para justificar su inclusión. Como tampoco creemos que merezca muchos más comentarios el caso de las triangulaciones: numerosos problemas, entre los que destacamos los de interpolación, han movido al estudio de las triangulaciones de nubes de puntos y por lo dicho en el párrafo anterior, es muy factible que la función a interpolar tome sus valores en puntos de un cilindro, una esfera, un toro, etc. El resto de los problemas considerados (diámetro, anchura y transversales) puede que dependan más de los intereses personales de quien los ha trabajado, aunque estemos convencidos de que todos son de indudable interés y quisiéramos destacar que cada uno presenta características especiales por lo cual su estudio es interesante: así en la anchura de un conjunto, la principal dificultad encontrada ha sido dar una definición apropiada y demostrar la equivalencia entre todas las posibles generalizaciones del mismo concepto en el plano lo cual ha permitido su resolución desde el punto de vista computacional. En el diámetro, los problemas han sido de índole algorítmica y en el caso de las transversales nos hemos encontrado resultados totalmente distintos a los que se dan en el plano y con estudio de complejidades sorprendentes. Estas características nos hacen pensar que la elección efectuada no es tan arbitraria como podría parecer a primera vista.
Sin embargo, el estudio realizado para la resolución de todos los problemas prueba dos hechos que pudieran parecer sorprendentes y hasta contradictorios: en casi todos los casos considerados la solución algorítmica conocida en el plano no es válida, sin embargo, se puede encontrar algún otro procedimiento que lleva a la solución del problema con complejidades óptimas.
Por último quisiera mencionar que todos los temas que aquí se tratan han sido ya anteriormente presentados en foros especializados en los cuales, queremos pensar que han tenido una buena acogida. Así el estudio de la envolvente convexa ha motivado las publicaciones 25 y 26 de la bibliografía, los temas tratados en el capítulo de diagramas de Voronoi aparecen en los trabajos 44, 45, 21 y 20, el diámetro y la anchura fueron estudiados en los trabajos 21, 20, 19 y 22, las transversales son recogidas en el trabajo 24 y en el mismo trabajo se contempla el problema de las triangulaciones.
