Well-formed scales, non-well-formed words and the Christoffel duality

• Autores: Manuel Dominguez Romero
• Directores de la Tesis: Thomas Noll (dir. tes.), Marco Castrillón López (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Complutense de Madrid ( España ) en 2016
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 134
• Títulos paralelos:
  • Escalas bien formadas, palabras no bien formadas y la dualidad de Christoffel
• Tribunal Calificador de la Tesis: Capi Corrales Rodrigáñez (presid.), Daniel Azagra Rueda (secret.), Óscar García Prada (voc.), Juan Antonio Navarro González (voc.), Kurusch Ebrahimi-Fard (voc.)
• Materias:
  • Matemáticas
    • Teoría de los números
      • Geometría de los números
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Docta Complutense (pdf)
• Resumen

  • La presente tesis tiene principalmente tres objetivos. En primer lugar, se ofrecerá al lector una visión global de la teoría de escalas bien formadas desde un punto de vista de la combinatoria de palabras. Desde esta perspectiva se desarrollarán las propiedades de las escalas generadas, del teorema de los tres pasos, la definición y las distintas caracterizaciones de las escalas bien formadas y, por último, la noción de dualidad. Esto será llevado a cabo en el Capítulo 2.

    Según el Teorema de los tres pasos, si una escala está generada por un número irracional, puede tener dos o tres pasos distintos. Si tiene dos pasos, la escala es bien formada y sus propiedades están plenamente descritas en el Capítulo 2. Los patrones de estas escalas coinciden con las palabras de Christoffel del alfabeto 0,1. Sin embargo, queda pendiente de estudiar en profundidad el caso malo del teorema de los tres pasos: hasta la fecha no se han estudiado las propiedades matemáticas que verifican las escalas generadas que no son bien formadas. Puesto que sus patrones son palabras ternarias, el objetivo es intentar relacionar estas palabras con alguna de las generalizaciones de las palabras de Christoffel a alfabetos de n letras que existen en la literatura de la combinatoria algebraica de palabras. Esta idea centrará los contenidos del Capítulo 3.

    Por último, se pretende estudiar si la dualidad sobre las escalas bien formadas puede extenderse a otros ámbitos. El primero de ellos es el de los modos de una escala. Dado que matemáticamente los patrones de los modos de una escala son rotaciones del patrón original, la idea es extender la involución de palabras de Christoffel sobre sus rotaciones conjugados. Pero estas extensiones se deben comportar bien cuando consideramos la involución sobre los morfismos de palabras. Este problema centrará los contenidos del Capítulo 4. Una segunda forma de extender la dualidad de Christoffel es la siguiente. Si fijamos un número irracional g, cada convergente o semiconvergente de g es una fracción que es, a su vez, la pendiente de una palabra de Christoffel. Es posible encontrar un generador dual h de forma que las palabras de Christoffel cuyas pendientes sean semi-convergentes, respectivamente de g y de h sean duales dos a dos El Capítulo 5 está dedicado a responder a esta pregunta.