Resumen de Configuraciones de nodos en interpolación polinómica bivariada.
La Caracterización Geométrica fue propuesta por Chung y Yao en 1977, Esta se introdujo con el objeto de caracterizar los conjuntos de nodos del espacio k-dimensional cuyo problema deinterpolación de Lagrange asociado es unisolvente y sus respectivos polinomios de Lagrange pueden expresarse como producto de factores lineales. En el plano, un conjunto X de (n+2)(n+l)/2 nodos verifica la Caracterización Geométrica de orden n(GCn) si, para cada x E X, existen n rectas que contienen a todos los puntos de X\{x} y no a x. Los retículos principales son un ejemplo clásico de conjunto GCn.
En 1982, Gasca y Maeztu conjeturaron que en cualquier conjunto GCn, existe al menos una recta con n + 1 nodos. Hasta el momento, esta conjetura ha sido probada únicamente para n = 4.
Con el fin de clasificar los conjuntos GCn, Carnicer y Gasea introdujeron, en un artículo del año 2001, el concepto de defecto. Concretamente, decimos que un conjunto GCn, tiene defecto d si contiene exactamente n + 2 - d rectas de n + 1 nodos. Estos autores, describieron los conjuntos con defectos 0,1 y 2 y caracterizaron los conjuntos GC4 con defecto 3. También demostraron que el defecto máximo que puede alcanzarse es d = n - 1, suponiendo que la conjetura de Gasea y Maeztu es cierta. Con estos resultados se abordó la descripción y completa clasificación de los GCn para n = 4.
En este trabajo, usando como hipótesis la conjetura de Gasea y Maeztu, se han descrito y clasificado todos los conjuntos de nodos del plano que verifican la Caracterización Geométrica GCn, para cualquier n. Como criterio de clasificación se ha usado el defecto de una configuración de nodos.
Dentro de este contexto, la primera contribución de importancia es la caracterización de los CCn con defecto 3 para n > 4. Estos conjuntos contienen un subconjunto GC4 con defecto 3 que se relaciona de una cierta forma con el resto de las rectas del retículo.
Para obtener la descripción general de los conjuntos CCn con de
