Resumen de Discrete and continuous symmetries in planar vector fields
Aquesta tesi es situa en el marc de la teoria qualitativa dels sistemes d#equacions diferencials en el pla. Cada capítol conté un aspecte diferent, però en tots ells es tracten problemes, la solució dels quals està basada en el rol que hi juguen les simetries discretes i continues (reversibilitat o simetries de Lie) de camps vectorials plans. A la introducció, es dóna un resum dels resultats més coneguts i s#hi introdueix la notació que es fa servir al llarg de la tesi.
En el segon i tercer capítol, s#aborda el problema de trobar l#expressió explícita del canvi linealitzant o orbitalment linealitzant d#un camp vectorial suau a partir del coneixement d#un commutador, en el cas de la linealització, o una simetria de Lie, en el cas de la linealització orbital. Cada capítol finalitza amb exemples il.lustratius del procediment constructiu dels canvis.
Al Capítol 5 s#apliquen els resultats dels capítols anteriors, combinats amb linealitzacions Darbouxianes. Concretament, es considera un sistema quadràtic tipus Lotka-Volterra i es caracteritzen les selles linealitzables i orbitalment linealitzables mitjançant la troballa dels canvis linealitzants o orbitalment linealitzants.
En el sisè capítol, s#utilitza l#existència d#un àlgebra de simetries puntuals de Lie per donar informació sobre l#existència i localització d#òrbites periòdiques. En particular, quan l#àlgebra de simetries puntuals de Lie d#una equació diferencial escalar de segón ordre autònoma i suau té dimensió major o igual a dos, definim les anomenades funcions fonamentals que ens permeten estudiar les òrbites periòdiques al pla de fases. En el cas particular d#equacions polinomials de Liénard, mostrem la no existència de cicles límit en tot el pla de fases.
Finalment, al Capítol 7 es relacionen els sistemes reversibles amb el problema del centre així com amb el problema de la integrabilitat analítica. Considerem sistemes d#equacions diferencials analítics amb centres degenerats i mostrem que poden transformar-se, després d#un reescalat del temps, en un sistema lineal i reversible. El coneixement de integrals primeres ens proporciona un procediment per caracteritzar, en alguns casos, la condició de reversibilitat del centre degenerat. D#altra banda, relacionem l#existència de integrals primeres analítiques amb la reversibilitat orbital analítica en el cas de singularitats dèbils no degenerades.
