Resumen de Computational anatomy and brain morphometry (anatomía computacional y morfometría cerebral)
Resumen.
El principal objetivo de esta tesis es desarrollar un marco formal para el estudio, cuantificación y análisis estadístico de transformaciones espaciales o geométricas.
El marco propone dotar de una estructura métrica al espacio de las transformaciones espaciales basado en la geometría riemanniana y los grupos de Lie.
Las herramientas de la estadística clásica están desarrolladas para su uso sobre elementos con estructura de espacio vectorial.
Sin embargo las transformaciones espaciales, en general, no se pueden considerar como espacios vectoriales.
Por otro lado, existen extensiones de la estadística clásica que permiten el análisis de elementos pertenecientes a espacios con estructuras más simples, como la de espacio métrico.
Considerando las transformaciones como elementos de un grupo de Lie y haciendo uso de la variedad diferencial asociada, en esta tesis se estudian los pasos necesarios para dotar a estos grupos de una métrica riemanniana y ser capaces de calcular distancias entre transformaciones espaciales.
Entre las métricas más relevantes se propone el uso de aquellas que resultan invariantes ante la acción de los elementos del grupo y que proporcionan simetrías ante cambios de coordenadas o sistemas de medición.
Después de una revisión de estos conceptos, se estudian y proponen distintos métodos para calcular geodésicas en un espacio de transformaciones espaciales.
Dotados de estas geodésicas el objetivo de calcular distancias entre transformaciones espaciales queda reducido a encontrar la geodésica más corta entre dos transformaciones.
El uso de estas herramientas de análisis se ejemplifica en algunas aplicaciones de interés en el área de visión por ordenador.
Además, estudios más extensos en el área de imágenes médicas se han llevado a cabo para el análisis de cambios anatómicos producidos por la enfermedad de Alzheimer.
En esta área se propone la extensión de estudios clásicos, basados en la volumetría de estructuras, a descriptores multivariados más completos de la anatomía de los individuos.
También se estudia la técnica de Tensor-based morphometry (TBM) y se propone su extensión utilizando un descriptor multivariado de la deformación local.
Los descriptores multivariados propuestos se evalúan en un estudio de regresión con respecto a la escala cognitiva ADAS-cog y en un estudio de test de hipótesis entre un grupo de control y un grupo patológico.
Debido a que las entidades matemáticas que se analizan no pertenecen a un espacio vectorial sino que a un grupo de transformaciones, para llevar a cabo estos estudios se emplean las metodologías aprendidas en la investigación de la geometría riemanniana.
Si bien la tesis está enfocada al desarrollo de herramientas para el estudio morfométrico de las estructuras cerebrales, las metodologías propuestas son también de gran interés en otras áreas: o bien para estudios de otros órganos; o bien en análisis propios de otras disciplinas como visión por ordenador.
Conclusiones.
A lo largo de esta tesis se han estudiado las transformaciones espaciales con especial interés en las herramientas de análisis.
Se han propuesto nuevas metodologías que se han aplicado a la cuantificación de los cambios anatómicos en el cerebro inducidos por la enfermedad de Alzheimer.
Tradicionalmente estos análisis se llevan a cabo midiendo magnitudes medidas directamente sobre las estructuras anatómicas.
Sin embargo, estas magnitudes son generalmente inespecíficas y no proporcionan una descripción completa de las estructuras anatómicas y las relaciones entre ellas.
En esta tesis se ha utilizado la disciplina de Anatomía Computacional en la que las anatomías se describen de una manera geométrica y cada individuo es una versión deformada de un atlas anatómico.
Con esta descripción indirecta de las estructuras anatómicas, el análisis se realiza sobre las transformaciones que relacionan a cada individuo con el atlas anatómico.
Sin embargo, las transformaciones espaciales no tienen generalmente una est ructura de espacio vectorial y por lo tanto las herramientas clásicas de analásis estadístico no se pueden aplicar directamente.
Para realizar análisis estadísticos sobre las transformaciones espaciales, en este trabajo se han considerado herramientas estadísticas en un marco más general definido para elementos que pertenezcan a un espacio métrico.
En esta tesis se ha estudiado de forma rigurosa cómo asignar a las transformaciones espaciales de una estructura de espacio métrico que nos permita su análisis y cuantificación.
Se ha empezado por la caracterización de distintas familias de transformaciones espaciales que son de interés en imagen médica.
La mayoría de estas familias preservan algunas magnitudes de los objetos geométricos y se les puede asignar una estructura de grupo de transformaciones.
Los grupos de transformaciones es la estructura algebraica más analizada a lo largo de la tesis.
Para dotar a los grupos de transformaciones de una estructura métrica se han revisitado conceptos de geometría diferencial y grupos de Lie.
El principal objetivo de esta revisión ha sido trasladar dichos conceptos a la comunidad de visión por ordenador, gráficos por ordenador y análisis de imágenes médicas.
Se ha puesto un especial interés en ilustrar estos conceptos con transformaciones geométricas.
Además, en los últimos años ha crecido enormemente el interés en el análisis de datos provenientes de diversas variedades diferenciales y la revisión presentada es de mucha utilidad para diversas disciplinas científicas.
Una de los conceptos clave en esta tesis es el de geodésicas.
Las geodésicas riemannianas dependen de una estructura de métrica riemanniana asignada a la variedad diferencial.
Para realizar los análisis gemétricos sobre un grupo de Lie se han considerado aquellas métricas riemannianas que se mantienen invariantes ante la acción de cualquier elemento de grupo y definen simetrías que son heredadas por las aplicaciones.
Diversas propiedades y algoritmos para calcular estas geodésicas invariantes se han detallado y propuesto en los Capítulos 4 y 5.
Además, el uso de las geodésicas y distancias invariantes se ha ejemplificado en algunas aplicaciones de análisis de transformaciones espaciales.
Estas modernas herramientas de análisis, junto con el marco estadístico general definido para espacios con estructura métrica, se han empleado para distintos estudios sobre imágenes médicas.
En esta tesis, se han utilizado para la determinación de patrones de cambios anatómicos producidos durante la enfermedad de Alzheimer.
Para hacer esto, se desarrollaron metodologías de análisis que extienden los estudios volumétricos clásicos sobre estructuras anatómicas.
La primera extensión propuesta es la de considerar un descriptor de la pose de las estructuras subcorticales.
Como complemento al volumen, la pose provee información sobre la localización, orientación y tamaño de las estructuras dentro del cerebro.
Ademas, este descriptor pertenece a un grupo de Lie.
Se ha propuesto el uso de distancias riemannianas para el análisis de la pose con respecto a la escala cognitiva ADAS-cog mediante un ajuste de regresión con geodésicas.
También se ha realizado un estudio por regresión geodésica de la pose con respecto a la edad en un estudio de envejecimiento normal.
Se ha concluido que ambos procesos, el deterioro cognitivo y el envejecimiento normal, generan cambios anatómicos cualitativamente diferentes a nivel subcortical.
Por otro lado los estudios volumétricos en regiones de interés se pueden generalizar al evaluar cambios locales de volumen en todo el cerebro con la técnica TBM.
Por medio de herramientas avanzadas de corregistro de imágenes se ha generado un atlas anatómico de alta resolución para usar en el estudio de TBM.
Con estas herramientas se han obtenido mapas estadísticos con una alta resolución espacial y que concuerdan con el conocimiento fisiopatológico disponible de la enfermedad de Alzheimer.
Por último, se ha propuesto una nueva metodología para el análisis local de los campos de deformaciones.
Mientras que los estudios clásicos de TBM analizan sólo el cambio de volumen local por medio del determinante de la matriz jacobiana, se propuso el estudio de la matriz jacobiana completa utilizando las herramientas de análisis sobre grupos de Lie.
Para ello se ha caracterizado correctamente la matriz jacobiana como una transformación espacial local perteneciente al grupo GL+(d).
Para conseguir que la elección del atlas no afecte a los resultados estadísticos, en TBM, se ha demostrado que es una condición suficiente el utilizar una distancia invariante a derecha.
Utilizando como herramienta estadística el test de Cramér, se llevaron a cabo un estudio sintético ilustrativo y un estudio de TBM multivariado entre sujetos de control y pacientes de Alzheimer.
Se concluye que se obtiene mayor sensibilidad cuanta más información de la matriz jacobiana se utiliza en el análisis.
Para nuestro conocimiento es la primera vez que se utiliza la información completa de la matriz jacobiana junto con el requerimiento de invariancia ante la elección del atlas anatómico en un estudio de TBM.
