Resumen de Multiscale approach based on parametrized microscale models using proper generalized decomposition
En la actualidad la simulación numérica de modelos físicos cada vez más complejos representa un importante desafío en numerosas ramas de la ciencia e ingeniería. Estos análisis requieren altos grados de discretización y de potentes técnicas numérica con el fin de obtener predicciones fiables de sus respuestas. La mayoría de estos problemas conducen a modelos con un gran número de grados de libertad, para los cuales los costes computacionales pueden llegar a ser prohibitivos si se utilizan para su resolución códigos y/o técnicas basadas en métodos de malla, como lo es el método estándar de elementos finitos.
Se puede distinguir una familia importante de problemas donde el comportamiento en una escala influye notablemente en las propiedades de la escala superior, por ejemplo, donde la microestructura de un material define las propiedades mecánicas macroscópicas. Si la microestructura evoluciona de una manera que depende de variables macroscópicas (cargas, dimensiones, condiciones de contorno, temperatura) y en la microestructura local en sí, entonces nos enfrentamos a un problema de múltiples escalas acopladas. Esto aparece en cualquier problema constitutivamente no lineal, especialmente en casos como materiales con cambio de fases, crecimiento y tejidos vivos adaptivos, micro-daño locales y materiales de auto-regeneración entre muchos otros, donde fuertes cambios en las propiedades de los materiales aparecen en pequeñas regiones que en la escala superior pueden considerarse como puntos discretos o discontinuidades.
Los modelos matemáticos de muchos fenómenos físicos se establecen con la selección de las escalas de longitud y tiempo adecuadas con la teoría correspondiente y una serie de suposiciones simplificadoras. Una de las dificultades aparece en la conexión entre las escalas, ya que no es posible la resolución del problema totalmente utilizando la teoría más general (la cual suele ser la correspondiente a la escala inferior), debido al elevado coste computacional que se requeriría. En resumen, para obtener soluciones precisas en la escala inferior, teniendo en cuenta su efecto en las superiores, deben construirse modelos con una alta discretización. Por lo tanto, diferentes estrategias han sido desarrolladas para reducir el coste computacional mediante el empleo de suposiciones adicionales para simplificar el modelo, con un cierto grado de sacrificio asociado a la precisión. Entre estos se pueden mencionar los procedimientos de multiescala que se han venido proponiendo desde los primeros años del siglo pasado. Cuando se utilizan dos (o más) escalas simultáneamente (con las correspondientes teorías) surge un nuevo problema en la identificación de las variables de interacción, es decir, aquellos que controlan el comportamiento de la escala menor, pero que son obtenidas en la escala más alta (desplazamientos en la mecánica, voltaje en problemas eléctricos), y aquellos que se obtienen en la escala menor y se transfieren (por lo general su promedio en un sentido integral) a la escala superior como propiedades representativas macroscópicas (rigidez, conductividad, permeabilidad).
Probablemente, los enfoques de multiescala más conocidos se ubican dentro de las teorías de homogeneización. Este método sin embargo presenta varios inconvenientes en cuanto a precisión cuando se pierde la periodicidad de la microestructura. Además, las regiones de la frontera donde el material no se puede homogeneizar requieren de una atención especial y, finalmente, el elevado coste al aplicarse a problemas no-lineales. La extensión de esta teoría a problemas de microestructuras no-lineales implica la modelización del dominio entero y cada volumen representativo (RVE) para cada incremento de carga (o de tiempo), permitiendo así la obtención de las propiedades del material macroscópico homogeneizadas (promedio) para cada punto local en el incremento de tiempo actual. Después de resolver el problema macroscópico, los valores de las variables de conexión se transfieren a la microescala (RVE) que se resuelve entonces y, si es necesario, actualizar su microestructura y propiedades. Este procedimiento, es a menudo denominado como la homogeneización computacional o método de elementos finitos multi-nivel (FE^2). Este enfoque y otras teorías de homogeneización más modernas, tales como la homogeneización asintótica de mayor orden o multiescala variacional, pueden ser vistos como métodos de aproximación donde se enriquece la solución macroscópica en las regiones de interés por una función definida en la escala microscópica (inferior).
El procedimiento de multiescala propuesto en esta tesis se basa en el enfoque introducido anteriormente en el Método de Multiescala Variacional, donde el campo de desplazamiento es aproximado por la división aditiva entre la solución de desplazamiento macroescala y la de microescala. La principal novedad radica en el hecho de que el problema de la microescala se resolverá en un paso previo fuera de línea en el que un RVE de referencia será parametrizado y resuelto para un conjunto de posibilidades sobre la geometría, propiedades del material y las variables restringidas (condiciones de frontera). La solución resultante es prolongada (integrada) para cualquier conjunto de posibilidades sobre la geometría o las variables restringidas, obteniendo de este modo todas las variables necesarias en la macroescala sin la necesidad de resolver el problema de condición de contorno para cada RVE que viene representando la segunda etapa en un enfoque tradicional de FE^2.
Para lograr dicho objetivo, las variables de restricción tienen que ser parametrizadas para todo el RVE de referencia, consecuentemente, un problema multiparamétrico es analizado en todo el espacio multidimensional de los parámetros de la variable restringida y de la geometría (y si es necesario el estado actual de la RVE), dentro de un rango establecido de valores para cada uno de estos parámetro. Esto no es un problema trivial, la dimensionalidad de tales problemas pueden aumentar a niveles inmanejables de almacenamiento y requerimientos computacionales que desembocan en la conocida ``maldición de la dimensionalidad'' , si se implementan métodos basados en malla para su análisis. Una posibilidad para tratar con problemas de alta dimensionalidad (>5) es a través de las técnicas de reducción de modelo. Estos métodos explotan el hecho de que la respuesta de modelos complejos (o de una familia de modelos), en muchos casos, se puede aproximar con una precisión razonable por la respuesta de un modelo sustituto, que es la proyección del modelo inicial en una base de dimensión reducida. Estas bases reducidas puede ser de varios órdenes de magnitud inferior a la dimensión de los modelos numéricos clásicamente utilizados.
Por lo anterior, el problema multiparamétrico de la microescala se formula y resuelve por medio de una técnica de reducción de modelo recientemente introducida, denominada Descomposición Propia Generalizada (Proper Generalized Decomposition)(PGD). En esta técnica, las variables del problema (variables dependientes) en el espacio de variables independientes, se expresan en términos de una suma finita de productos de funciones separadas que dependen de cada variable independiente, siguiendo el esquema de la aproximación de Fourier. La dimensión del problema entonces será igual al número de dimensiones de la longitud y/o las de tiempo, mas el número de parámetros adicionales procedentes de las variables de restricción, la geometría del RVE y el estado actual de la microestructura definida por las variables internas.
Conceptualmente, este enfoque puede ser considerado como un método de elemento finito multinivel (FE^2), donde se resuelve el problema de condiciones de contorno en la microescala para cada elemento finito de la macroescala con sólo particularizar para dicho elemento el conjunto correspondiente de parámetros, coordenadas (y el tiempo cuando sea necesario) en el RVE de referencia resuelto previamente. A través de esa particularización, se calcula el tensor de rigidez y fuerzas internas (variables prolongadas) para cada elemento del problema macroscópico dado por simples operaciones algebraicas.
En esta tesis el enfoque de multiescala basado en modelos de microescala parametrizados se ha extendido a problemas temporales, lo que permite la resolución con costos computacionales menores, de problemas con diferencias considerables en las escalas de tiempo, donde por los requisitos de estabilidad o la alta oscilación de la solución, es necesario la implementación de incrementos de tiempos pequeños en comparación con el tiempo total del problema.
La formulación de multiescala aquí propuesto es reformulada y adaptada a problemas no lineales, específicamente para materiales no lineales, en los que la propiedad del material se rige por una ley de evolución dependiente de la deformación. Tres opciones para hacer frente a este tipo de problema en pequeñas deformaciones se detallan. Las bases de estos procedimientos se describen y se comparan, destacando la precisión de la solución y el tiempo computacional en comparación a un análisis de elementos finitos tradicional. En esta tesis, se toma para validar los diferentes esquemas de multiescala propuestos, un problema bi-dimensional con material no lineal basado en un modelo de daño isótropo y dependiente de la velocidad de aplicación de la carga.
A través de esta tesis un enfoque original de multiescala basado en modelos de microescala parametrizados resueltos mediante la técnica de reducción de modelos de Descomposición Propia Generalizada ha sido presentado. Este estudio es uno de los pocos trabajos realizados sobre los procedimientos de multiescala que tratan de aliviar el problema de la macroescala a través de algunos cálculos fuera de linea. El esquema propuesto comienza con un paso de microescala inicial, donde se resuelve la variable de interés sobre el RVE para cualquier conjunto de valores de las variables independientes por medio de la técnica de PGD. Esto permite obtener el resultado (desplazamientos, tensiones, fuerzas equivalentes, matriz de rigidez, ...) dentro del dominio de microescala (macroescala RVE) para cualquier conjunto de variables independientes de conducción dentro de los rangos predefinidos. A continuación, sólo se requieren operaciones algebraicas simples y de bajo coste computacional para resolver el paso de macroescala, para cualquier conjunto de fuerzas externas y condición de frontera sin resolver de nuevo el problema de la microescala.
Se ha demostrado que la precisión de la solución aumenta con el número de términos de la variable de aproximación. A pesar de la introducción de nuevos parámetros en el problema microescala multiparamétrico, la técnica de reducción de modelos (PGD) mantiene un bajo costo para el paso de parametrización ``fuera de línea'', abriendo así la posibilidad de manejar un gran número de parámetros, que puede ser interesante para la optimización de diferentes propiedades de la microescala. Importantes reducciones de tiempos computacionales se lograron al resolver el problema de macroescala para casos bi-dimensionales, sustituyendo el problema de contorno de cada RVE por una operación algebraica simple, que a través de una vectorización apropiada puede calcularse en unas pocas líneas de código.
Se ha demostrado que es necesario de una aproximación del desplazamiento en toda la frontera del modelo de microescala. En esta tesis, se ha considerado una aproximación lineal, sin embargo, esta parametrización simplificada del campo de desplazamiento en la frontera del RVE puede ser modificada para mejorar la solución final aumentando el número de parámetros. Esto significa un mayor coste en el paso de la solución de la microescala aunque esto es calculado ``fuera de línea¿¿. Se observaron una importante reducción en el tiempo de ordenador y en los requisitos de memoria durante la resolución de diferentes ejemplos bi-dimensionales con heterogeneidades periódicas y material con variación espacial en sus propiedades mecánicas, además se han obtenido resultados con precisiones promedio de 1 y 3 en comparación a un análisis de elementos finitos, en desplazamientos y tensiones, respectivamente, lo que demuestra que con este enfoque los problemas propuestos que necesitan un elevado número de elementos en la discretización, se pueden resolver fácilmente y con bajos costes computacionales.
Por otra parte, el procedimiento multiescala propuesto puede ser aplicado también a problemas estructurales con dependencia del tiempo, añadiendo el parámetro de tiempo a la aproximación. Se ha analizado un problema espacio-temporal, donde el campo de desplazamiento sobre el RVE se parametrizo en un paso fuera de línea, teniendo en cuenta una expresión separada y parametrizada para el comportamiento y evolución de la propiedad elástica, la cual a su vez ha sido resuelta previamente mediante la técnica de PGD.
La extensión a problemas 3-D es sencillo, aunque el número de parámetros independientes aumenta fuertemente añadiendo un coste adicional al problema de la microescala. Por otra parte, el procedimiento propuesto puede ser adaptado a cualquier tipo de elemento en la escala micro y macro. En esta tesis, el elemento macroescala se identifica con el RVE microescala, sin embargo, los problemas con diferentes elementos macroescala y RVE se puede considerar con la identificación de los parámetros del RVE resultantes de la malla de la macroescala. Esta suposición, que al igual que en sub-estructuración, es adecuado para problemas en los que la diferencia de escala entre la heterogeneidad y el modelo global no es lo suficientemente pequeña, que son condiciones esenciales para las técnicas de homogeneización asintótica y FE^2. Sin embargo, una suposición similar a la FE^2 puede ser analizada, donde cada RVE representa un punto local (punto de Gauss) en el problema de la macroescala. Para esto, se establece una formulación para las condiciones de contorno microscópicas a partir de las variables macroscópicas de entrada (deformación) y su aplicación en la transición RVE (macro-micro), entonces, el cálculo de las variables de salida macroscópicas a partir del análisis de la RVE deformado (micro-macro) son calculadas. Aquí de nuevo el campo de desplazamiento de la microescala para cada RVE se obtiene mediante una operación algebraica sencilla particularizando los resultados fuera de línea para el estado dado de deformación proveniente del problema macroscópico.
Diferentes esquemas para el análisis de problemas con no linealidades en el material bajo el régimen de pequeñas deformaciones se han formulado y comparado. La principal diferencia entre estas opciones es la manera de cómo se incorporan las variables internas en el problema multi-paramétrico de la microescala. En primer lugar, se propone un esquema de PGD-incremental, donde el problema acoplado entre la ecuación de equilibrio y la variable de estado se resuelve de forma incremental para un determinado número de incrementos de las condiciones de contorno en desplazamiento. En cada incremento, la distribución parametrizada de la variable de estado es actualizada siguiendo un esquema explicito estándar. Debido a la naturaleza acoplada de este procedimiento, la variable de estado y la aproximación del campo de desplazamiento se deben parametrizar con respecto a las mismas variables. La opción PGD-incremental se inicia desde una distribución de condición inicial predefinida de la variable de estado y se actualiza al final de cada incremento, con la que se calcula una nueva aproximación incremental de desplazamiento parametrizada. Este hecho hace que este sistema se vuelva menos eficiente en problemas donde los pasos de carga y descarga son diferentes, lo que obliga a la ejecución de un nuevo análisis de PGD-incremental con una diferente distribución de condición inicial de la variable de estado.
En un sentido más general, una segunda opción ha sido propuesta donde el problema se resuelve desacoplando la ecuación de equilibrio y expresión de la variable de estado. Para ello, se considera una aproximación de la distribución espacial de la variable de estado, asumiendo los diferentes parámetros de esa aproximación como variables adicionales en el problema de la microescala parametrizada. En esta tesis, el problema de la microescala se ha parametrizado para las diferentes variables de estado indicadas en cada nodo de la discretización de la microescala. Por lo tanto una aproximación espacial típica de elementos finitos de la variable de estado es considerada. Un problema de dimensional inferior puede ser considerado mediante la aproximación de la distribución espacial, por regiones y no para cada nodo. Este procedimiento no acoplado, da la posibilidad para calcular la evolución de la variable de estado de diferentes maneras en el problema de la macroescala. A diferencia de la primera opción, no es necesario parametrizar la variable de estado para los mismos parámetros de la aproximación del desplazamiento. El análisis de multiescala en tiempo propuesto en el Capítulo 2 se ha implementado para el comportamiento de un modelo de daño isótropo, con especial atención en la variable de la deformación, que es dependiente del tiempo y tiene que ser aproximado en el dominio del tiempo microescala. La principal limitación de la segunda opción (no acoplado) es el gran número de dimensiones debido a la parametrización con respecto a la variable de estado asociada a cada nodo, que trae consigo un gran número de términos para una aproximación suficientemente precisa del campo parametrizado sobre el RVE. Sin embargo, esta opción es más flexible para la distribución de la variable de estado en cada incremento del problema de la marocescala debido a la naturaleza desacoplada del procedimiento. Elevados tiempos de computación para ambos casos de discretización del RVE (65 y 101 dimensiones) se han observado para el problema ``fuera de línea'' de la microescala. Esta opción se puede implementar en problemas donde los caminos de carga y descarga son diferentes, donde el problema parametrizado de la microescala es totalmente independiente de la evolución/comportamiento de la variable de estado.
Para aliviar el problema parametrizado de la microescala, una tercera opción para problemas con material no-lineal se ha propuesto a través la incorporación de un problema de la microescala en cada incremento del problema de la macroescala (FE-PGD). Esta opción resulta ventajosa cuando un gran número de RVEs tiene que ser analizado en el problema de la macroescala, por ejemplo, sustituyendo todos los problemas de contorno asociados a cada RVE por un solo problema parametrizado de la microescala, para unas posteriores particularizaciones asociadas a un RVE dado. Como se muestra en la sección 3.3, este problema tiene una dimensionalidad más baja en comparación con los métodos anteriores, debido a que no se parametriza con respecto al incremento de tiempo o variables de estado, pero si con respecto a los RVEs en la discretización de la macroescala. El problema de la microescala se resuelve para una determinada distribución de variable interna calculada en el último incremento/iteración del problema de la macroescala. La opción FE-PGD puede representar una opción adecuada para el ahorro de tiempo computacional cuando se necesita una fina discretización del modelo de microescala. Al igual que en la segunda opción, este esquema es independiente de la naturaleza o la expresión que define el comportamiento de las variables de estado.
Se han observado errores relativos similares en desplazamiento sobre el modelo de macroescala para los tres esquemas propuestos. Varios factores podrían inducir a errores en los resultados del esquema de multiescala propuesto, tales como, el truncamiento de la aproximación, la aproximación desplazamiento lineal a lo largo de la frontera RVE y la discretización de las dimensiones analizadas durante la parametrización. Errores poco más bajos se han detectado para la opción FE-PGD, como se espera debido a la baja dimensionalidad del problema de la microescala y, por tanto, una mejor aproximación PGD para un número relativamente bajo de términos.
Los tiempos computacionales para el problema incremental en la macroescala fueron similares para el primer y segundo esquema (PGD-Incremental y el problema desacoplado), alrededor del 30 del tiempo que se consumiría a través de un análisis tradicional de elementos finitos. Para la opción de FE-PGD, el tiempo computacional para el mismo problema representa un 65 de tiempo para un análisis tradicional de EF, sin embargo, al refinar la discretización del modelo de la microescala de 39 a 92 elementos, el tiempo computacional se ha reducido a un 44 del tiempo total consumido mediante un análisis tradicional de EF, además de una importante reducción en los requisitos de memoria de ordenador.
Por otro lado, el tiempo de computadora para el paso fuera de línea de la microescala del análisis a través del esquema PGD- incremental para 70 incrementos, es inferior al tiempo para el paso fuera de línea el esquema desacoplado es implementado para el mismo problema de microescala parametrizado para 65 dimensiones, donde se calculan 1000 términos para la aproximación. La mayor parte del tiempo de computadora fuera de línea en el esquema PGD-incremental es consumida por el cálculo de una forma separada para el término de la derecha de la expresión parametrizada que define la evolución de las variables internas y la distribución espacial, ya sea por la técnica del PARAFAC-ALS o RSPGD. Esto es debido a la alta no-linealidad de dicho término, además, de no permitir la aplicación de un procedimiento de PGD estándar para resolver el problema de la evolución parametrizada. Para el esquema desacoplado, donde un problema de alta dimensión se resuelve, se observó un incremento cuadratico en el tiempo de computadora vs. el número de términos de la aproximación. Además, se observó una baja tasa de convergencia después de que se alcance un número determinado de términos en la aproximación. Esto puede ser debido a las discretizaciones de las diferentes dimensiones. La última opción, presenta su problema microescala parametrizada dentro de cada uno de los incrementos de macroescala, consumiendo la mayor parte del tiempo de computadora del incremento, sin embargo, se requiere un menor número de términos en la aproximación y, a diferencia de la primera opción, ninguna descomposición multi-dimensión es necesario .
