Resumen de An implicit methodology to solve the bidimensional shallow water equations in unstructured meshes
During the last decade, the development of models to solve two dimensional free surface flows has boomed considerably within the hydraulic industry. Amongst the various families of models, the more sophisticated and widespread rely on the mathematical framework given by the Shallow Water Equations. There is presently a wealth of modern numerical schemes to accurately solve this set of partial differential equations, led by the family of finite volume schemes. Due to their favorable properties, these schemes have become the spearhead of inundation modeling technology and are nowadays widely accepted within the industry.
In the last years, most of the research efforts have been focussed on the development and improvement of numerical techniques addressing the discretization of the spatial terms in the Shallow Water Equations. Less attention has been paid to the research and development of new time integration techniques. Thus, the time integration methods implemented within inundation models normally correspond to standard explicit schemes whose time step is limited by stability conditions of CFL type. Nevertheless, in many situations the time step required by numerical stability is far from the real temporal scales of the physical phenomenon under consideration. This contrasts with the key principle that the amount of computational work should be proportional to the amount of real physical changes in the problem. As a result, the CFL restriction leads to situations in which the time step size severely compromises the performance of explicit time integration schemes.
In this thesis, implicit methods to solve the Shallow Water Equations are developed with the purpose of relaxing the limitations of standard explicit schemes. The solution methodology relies on advanced numerical techniques used in the aeronautics field but yet not widely exploited in hydraulic models, such as approximate factorization, inexact implicit operators and iterative algorithms. Three are the main contributions of this work: analysis of potential implicit time integration methods suitable for the solution of highly non-linear systems, development of an implicit time integration methodology applicable on arbitrary unstructured polygonal meshes and finally the benchmark of this methodology in synthetic and real test cases. The results obtained clearly demonstrate that the methods developed in this thesis have an extraordinary potential and can successfully relax several orders of magnitude the time step restriction inherent to standard explicit schemes.
OBJECTIVES:
Analysis, development and application of time integration methods for the solution of the two dimensional Shallow Water Equations within the fnite volume framework on unstructured meshes, capable of relaxing the time step restriction inherent to standard explicit schemes, without compromising the overall accuracy of the numerical solution.
METHODOLOGY:
- Search of implicit methods with properties that make them appropriate for the solution of hyperbolic partial differential equations.
- Analyze the properties and efficiency of such implicit methods for the solution of the Shallow Water Equations.
- Comparative analysis of implicit methods against standard explicit methods.
- Tune-up of iterative methods for the solution of algebraic systems that can be applied within implicit methods for the solution of the Shallow Water Equations.
- Qualitative analysis of the performance of implicit schemes against synthetic test cases and comparison against standard explicit schemes.
- Application of implicit schemes in real life test cases to assess their viability and usefulness and comparison with standard explicit schemes.
RESULTS:
The main conclussion to be drawn from the work carried out in this PhD thesis is that implicit time integration methods present characteristics that make them very attractive for the solution of the two dimensional Shallow Water Equations by means of finite volume schemes applied on unstructured meshes. The main objective of the thesis, i.e., the relaxation by using implicit time integration schemes of the restrictions impossed by numerical stability on the time step inherent to explicit schemes, has been accomplished satisfactorily considering the results obtained and presented in this thesis.
RESUMEN EN ESPAÑOL:
Durante la última década, el desarrollo de modelos para la resolución de flujos bidimensionales de superficie libre ha sufrido un auge considerable en la industria hidráulica. Entre las diferentes familias de modelos, los más sofisticados están basados en el marco matemático definido por las ecuaciones de aguas poco profundas. Existe en la actualidad una gran variedad de esquemas numéricos para resolver satisfactoriamente este sistema de ecuaciones en derivadas parciales, liderados por la familia de los esquemas en volúmenes finitos. Debido a sus favorables características, estos esquemas se han situado como la punta de lanza de la tecnología de modelización de inundaciones y están siendo ampliamente aceptados en la industria.
En los últimos años, los esfuerzos de investigación en el ámbito de la ecuaciones de aguas poco profundas se han concentrado primordialmente en el desarrollo y mejora de técnicas numéricas relacionadas con la discretización de los términos espaciales, tal y como se desprende de la gran cantidad de material científico publicado sobre el tema. Por otro lado, el desarrollo de métodos avanzados de integración temporal ha sido mucho más limitado. En general, los esquemas de integración temporal en modelos de inundación se corresponden con esquemas explícitos estándar cuyo paso de tiempo está limitado por criterios de estabilidad de tipo CFL. Sin embargo, en multitud de situaciones, el tamaño del paso de tiempo fijado por criterios de estabilidad numérica presenta grandes discrepancias con las escalas temporales del problema físico en cuestión. Este hecho contradice unos de los principios fundamentales que todo modelo numérico debería respetar; la carga de trabajo computacional debe guardar proporción con la cantidad de cambios físicos reales del problema a resolver. Así, la restricción de CFL genera situaciones en las que el tamaño del paso de tiempo puede comprometer seriamente el rendimiento de esquemas explícitos de integración y por ende su viabilidad en aplicaciones prácticas.
En esta tesis se trata el desarrollo de métodos implícitos de resolución de las ecuaciones de aguas poco profundas con el objectivo de suavizar las restricciones en el paso de tiempo propias de esquemas explícitos. El método de solución presentado en este trabajo se basa en técnicas numéricas avanzadas comúnmente empleadas en el ámbito aeronáutico pero aún no explotadas en el caso hidráulico, tales como factorización aproximada, operadores implícitos inexactos y algoritmos iterativos. Las principales contribuciones en este trabajo se concentran en tres áreas: análisis de esquemas implícitos apropiados para la solución de problemas no lineales, desarrollo de una metodología de integración temporal implícita aplicable en mallas no estructuradas formadas por elementos poligonales arbitrarios y finalmente la verificación de dicha metodología en casos test sintéticos y reales. Los resultados obtenidos en esta tesis demuestran claramente que los métodos desarrollados tienen un extraordinario potencial, permitiendo una relajación de varios órdenes de magnitud de las restricciones en el paso de tiempo inherentes a métodos explícitos de integración.
OBJETIVOS:
Análisis, desarrollo y aplicación de métodos implícitos de integración temporal para la solución de las ecuaciones de aguas poco profundas en dos dimensiones en el marco de modelos de volúmenes finitos en mallas no estructuradas, capaces de relajar las restricciones en el paso de tiempo inherentes a esquemas explícitos estándar, sin por ello comprometer la calidad global de la solución numérica.
METODOLOGIA:
- Búsqueda de métodos implícitos con propiedades adecuadas para la solución de sistemas hiperbólicos de ecuaciones en derivadas parciales.
- Analizar las propiedades y eficiencia de dichos métodos implícitos para la solución de las ecuaciones de aguas poco profundas.
- Análisis comparativo de métodos implícitos frente a métodos explícitos estándar.
- Puesta a punto de métodos iterativos para la solución de sistemas algebraicos que se puedan aplicar en métodos implícitos de solución de las ecuaciones de aguas poco profundas.
- Análisis cualitativo del comportamiento de los esquemas implícitos frente a casos test sintéticos en contraste con métodos explícitos estándar.
- Aplicación de esquemas implícitos en casos test reales para la evaluación de su viabilidad y utilidad. Comparación frente a esquemas explícitos estándar.
RESULTADOS:
La principal conclusión que se puede extraer del trabajo realizado en la tesis doctoral es que los métodos de integración implícita desarrollados presentan una serie de características que los hacen muy atractivos para la solución de las ecuaciones de aguas poco profundas en dos dimensiones mediante esquemas en volúmenes finitos aplicados en mallas no estructuradas. El principal objetivo de la tesis, es decir, la relajación de las restricciones en el paso de tiempo impuestas por criterios de estabilidad numérica propias de esquemas explícitos mediante el uso de esquemas implícitos, se ha logrado satisfactoriamente a la vista de los resultados obtenidos y presentados en la tesis.
