The role of hyperbolic invariant objects: from Arnold diffusion to biological clocks

• Autores: Gemma Huguet Casades
• Directores de la Tesis: Amadeu Delshams i Valdés (dir. tes.), Antoni Guillamon Grabolosa (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) ( España ) en 2008
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: María Teresa Martínez-Seara i Alonso (secret.), Marian Gidea (voc.), Jordi García-Ojalvo (voc.), Rafael de la Llave Canosa (voc.)
• Materias:
  • Matemáticas
    • Análisis y análisis funcional
      • Ecuaciones diferenciales ordinarias
• Texto completo no disponible (Saber más ...)
• Resumen

  • El marc d'aquesta tesi són els objectes invariants hiperbòlics (tors amb bigotis, cicles límit, NHIM, . . .), que constitueixen, per aquesta tesi, els objectes essencials per a l'estudi de diversos problemes des de la difusió d'Arnold ns als rellotges biològics. Treballem en tres temes diferents des d'un enfocament tant teòric com numèric, amb una especial atenció per a les aplicacions, especialment en neurobiologia:

    ¿ Existència de difusió d'Arnold per a sistemes Hamiltonians a priori inestables ¿ Algorismes numèrics ràpids per al càlcul de tors invariants i els bigotis associats, per a sistemes Hamiltonians utilitzant el mètode de la parametrització.

    ¿ Càlcul d'isòcrones i corbes de resposta de fase (PRC) en sistemes neurobiològics usant el mètode de la parametrització.

    En la primera part de la tesi, hem considerat el cas d'un sistema Hamiltonià a priori inestable amb 2+1/2 graus de llibertat sotmès a una pertorbació de tipus general. A priori inestable signica que el sistema no pertorbat presenta un punt d'equilibri hiperbòlic amb una òrbita homoclínica associada. El resultat principal d'aquesta part de la tesi és que per a un conjunt genèric de pertorbacions prou regulars, el sistema presenta el fenòmen de la difusió d'Arnold, és a dir, existeixen trajectòries la variable acció de les quals experimenta un canvi d'ordre 1. La demostració es basa en un estudi detallat de les zones ressonants i els objectes invariants generats en elles, i ofereix una descripció completa de la geograa de les ressonàncies generades per una pertorbació genèrica.

    En la segona part d'aquest memòria, desenvolupem mètodes numèrics ecients que requereixen poca memòria i operacions per al càlcul de tors invariants i els bigotis associats en sistemes Hamiltonians (aplicacions simplèctiques i camps vectorials Hamilto- nians). En particular, això inclou els objectes invariants involucrats en el mecanisme de la difusió d'Arnold, estudiat en el capítol anterior. Els algorismes es basen en el mètode de la parametrització i segueixen de prop demostracions recents del teorema KAM que no usen variables acció-angle. Donem detalls de la implementació numèrica que hem dut a terme i mostrem alguns exemples.

    En la darrera part de la tesi relacionem problemes de temps en sistemes biològics amb algunes eines conegudes de sistemes dinàmics. En particular, usem el mètode de la parametrització i les simetries de Lie per a calcular numèricament les isòcrones i les corbes de resposta de fase (PRC) associades a oscil·ladors i ho apliquem a diversos models biològics ben coneguts. A més a més, aconseguim estendre el càlcul de PRCs en un entorn de l'oscil·lador. Les PRCs són útils per a l'estudi de la sincronització d'oscil·ladors acoblats i una eina bàsica en biologia experimental (ritmes circadians, acoblament sinàptic i elèctric de neurones,...)