Resumen de Superficies willmore con borde y sigma modelos no lineales
El trabajo desarrollado en esta tesis es la respuesta a dos cuestiones motivadas por la lectura de [Barros], En dicho artículo, el autor obtiene las soluciones compactas y con frontera del O(3) sigma-modelo no lineal de dimensión 2 que admiten una simetría rotacional. Además, demuestra que éstas coinciden con las superficies de Willmore de revolución en el espacio Euclídeo de dimensión 3, R^3, hasta entonces desconocidas. Para ello utiliza el procedimiento ideado por Ody y Ryder, por el cuál se identifican las variables del O(3) sigma-modelo con la aplicación de Gauss de inmersiones de una superficie en R^3.
El funcional que mide la energía total de la aplicación de Gauss de una inmersión, pertenece a la familia de funcionales cuya densidad lagrangiana es una función del operador de Weingarten. El más sencillo de estos funcionales es el funcional área. El problema variacional con condiciones de frontera asociado al funcional área, recibe el nombre de problema de Plateau y sus soluciones se llaman superficies mínimas o minimales. Enneper demostró que no existen superficies mínimas foliadas por circunferencias contenidas en planos no paralelos.
Motivados por estos resultados, nos preguntamos por la existencia de soluciones del O(3) sigma-modelo con frontera foliadas por circunferencias que no están contenidas en planos paralelos. Esta cuestión queda resuelta en el primer capítulo de la tesis. En él presentamos dos familias clásicas de circunferencias que no están contenidas en planos paralelos, las circunferencias de Villarceau de primera y segunda especie, y obtenemos las soluciones del sigma modelo foliadas por este tipo de circunferencias. Dichas soluciones están generadas por elásticas en la esfera punteada de dimensión 2 y radio 1/2, con multiplicador de Lagrange igual a 4. Además, se demuestra que todos los solitones foliados por circunferencias de Villarceau son compactos. Y que la carga de los solitones, que no es sino el funcional curvatura de Gauss total, está determinada exclusivamente por las condiciones de frontera.
Motivados de nuevo por [Barros], el siguiente objetivo es el estudio de las soluciones del O^1(3) sigma-modelo con simetría rotacional, esto es, aquellas soluciones que son invariantes bajo el grupo de transformaciones de Lorentz propias y ortocronas que fijan una dirección del espacio de Lorentz-Minkowski de dimensión 3, L^3. Para ello, es necesario un estudio previo de las superficies rotacionales de L^3. Este trabajo queda recogido en el segundo capítulo de la tesis. Nótese que estas superficies habían sido utilizadas múltiples veces en la literatura, pero que su clasificación nunca había sido abordada. De echo, en el caso de eje espacial se muestra la existencia de una amplia familia hasta ahora desconocida y entre cuyos miembros se encuentran supercicies clásicas como son los hiperboloides de una hoja (con eje central temporal) y la silla de montar.
El último capítulo se centra en proporcionar una descripción completa de las soluciones rotacionales del O^1(3) sigma-modelo, así como de los solitones rotacionales Riemannianos. Se demuestra que las soluciones de este modelo coinciden con las superficies de Willmore con frontera en L^3. Para lo cual se obtiene una Fórmula de Gauss-Bonnet para superficies Lorentzianas con frontera diferenciable a trozos y formada por curvas no degeneradas. Para obtener las soluciones rotacionales con eje temporal, se utilizan las mismas herramientas que en el primer capítulo (principio de criticalidad simétrica de Palais e invarianza conforme del funcional de Willmore). Las soluciones en este caso están generadas por elásticas libres clavadas en un plano anti de Sitter. Para estudiar los caso de eje espacial y luminoso hemos obtenido la primera variación del funcional de Willmore en ambiente semi-Riemanniano. En el primer caso se demuestra que las soluciones rotacionales Riemannianas están generadas por curvas que son elásticas libres clavadas en dos planos de de Sitter y además se halla una caracterización de los solitones en términos de las condiciones de frontera del problema. El estudio de las superficies Lorentzianas es más complejo, debido a la riqueza de la familia de superficies rotacionales Lorentzianas. Las soluciones son:
-Superficies rotacionales generadas por elásticas libres temporales clavadas en dos planos de de Sitter disjuntos.
-Superficies rotacionales generadas por elásticas libres espaciales clavadas en dos planos hiperbólicos disjuntos.
-Planos Lorentzianos ortogonales al eje.
-Hiperboloides de una hoja con eje una dirección temporal ortogonal al eje de revolución.
En el caso de eje luminoso, las soluciones están generadas por elásticas libres clavadas en un plano anti de Sitter.
Todos estos resultados se encuentran recogidos en [Barros-Caballero-Ortega-1] y [Barros-Caballero-Ortega-2].
[Barros] M. Barros. A geometric algorithm to construct new solitons in the O(3) nonlinear sigma model. Physics Letters B 553 (2003), 325--331.
[Barros-Caballero-Ortega-1] M.Barros, M.Caballero y M.Ortega.
Villarceau foliated solitons in the two-dimensional O(3) nonlinear sigma model.
Journal of Geometry and Physics 57 (2006), 177--192.
[Barros-Caballero-Ortega-2] M.Barros, M.Caballero y M.Ortega.
Rotational Surfaces in L^3 and Solitons in the Nonlinear Sigma Model.
Communications in Mathematical Physics (to appear).
