The number of limit cycles of a generalized abel equation
- Autores: Naeem Alkoumi
- Directores de la Tesis: Rafael Ortega Ríos (dir. tes.), Pedro José Torres Villarroya (dir. tes.)
- Lectura: En la Universidad de Granada ( España ) en 2010
- Idioma: inglés
- Tribunal Calificador de la Tesis: Armengol Gasull i Embid (presid.), Antonio Jesús Ureña Alcazar (secret.), Eduardo Liz Marzán (voc.), José Luis Bravo Trinidad (voc.), Juan Campos Rodríguez (voc.)
- Materias:
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- Resumen
The number of limit cycles of a generalized Abel equation Resumen El objetivo general es el estudio del numero de soluciones periódicas aisladas (ciclos límite) de la ecuación diferencial polinómica u/ =an(t)un +a n-1(t)un-1 +...+a0(t); (1) donde los coeficientes ai(t); i = 0; 1; ... ; n; son continuas y T-periódicas.
Clásicamente, la interés en este problema proviene del estudio del numero de Orbitas cerradas de un campo de vectores polinomios en el plano, que es parte del problema 16 de Hilbert [15]. Esta línea de investigación ha atraído la atención de un gran número de matemáticos, en consecuencia el numero de referencias relacionadas es enorme. Citamos [4, 5, 6, 7, 10, 11, 17, 18] como una selección de artículo especialmente relacionados con nuestro enfoque. En el Capitulo 2 se obtienen nuevos resultados sobre la multiplicidad de Ciclos límite para la ecuación u/ =an1 (t)un1 +an2 (t)un2 +an3 (t)un3 +am(t)um: (2) Este caso ha sido estudiado recientemente en [7, 4].
Nuestros resultados son diferentes y permiten la posibilidad de que las potencias sean negativas. Este caso es interesante para el estudio de ciertos sistemas polinomiales en el cilindro. En comparación, el numero de artículos que consideran el caso general es pequeño [16, 9, 8, 18]. El Capitulo 3 estudia este caso. Los resultados obtenidos se aplican a una nueva familia de campos vectoriales planos dada por x/ = -y2p-1 +x|q P(x; y) ; y/ =x 2q-1 +y|p P(x; y) (3) donde P(x; y) es un polinomio y p; q son números naturales. Si p = q = 1, se conoce como sistema rígido [12, 13, 14].
Finalmente en el Capítulo 4, se muestra que el método de Ilyashenko [16] también se puede aplicar a ecuaciones mas generales, no necesariamente polinómicas. Como modelo se analiza x/ = x3 + sin x + p(t); p(t + 1) = p(t) (4) obteniendo una estimación sobre el numero de soluciones periódicas que solo depende de kpk1. Para ello se usan tecnicas de Análisis Complejo. Este método es bastante exible y puede aplicarse a muchas otras ecuaciones. Los resultados originales de la tesis estan recogidos en [1, 2, 3].
References [1] N. Alkoumi, The number of periodic solutions of some analytic equations of Abel type, Preprint (2010), www.ugr.es/_ecuadif/fuentenueva.htm [2] N. Alkoumi, P. J. Torres, Multiplicity of limit cycles of a generalized Abel equation, Preprint (2010), www.ugr.es/_ecuadif/fuentenueva.htm [3] N. Alkoumi, P. J. Torres, On the number of limit cycles of a generalized Abel equation, Preprint (2010), www.ugr.es/_ecuadif/fuentenueva.htm, To appeer in Czechoslovak Mathematical Journal.
[4] A. Alvarez, J. L. Bravo, M. Fern_andez, The number of limit cycles for generalized Abel equations with periodic coecients of definite sign, Communications on Pure and Applied Analysis 8 (2009) 1493-1501.
[5] A. Alvarez, J. L. Bravo, M. Fernandez, Uniqueness of limit cycles for polynomial rs-order deferential equations, J. Math. Anal. Appl. 360 (2009) 168-189.
[6] A. Alvarez, A. Gasull, H. Giacomini, A new uniqueness criterion for the number of periodic orbits of Abel equations, J. Differential Equations 234 (2007) 161-176.
[7] M. A. M. Alwash, Periodic solutions of Abel differential equations, J. Math. Anal. Appl. 329 (2007) 1161-1169.
[8] M. A. M. Alwash, Polynomial dierential equations with small coefficients, Discrete and Continuous Dynamical Systems 25 (2009) 1129-1141.
[9] M. Calanchi, B. Ruf, On the number of closed solutions for polynomial ODE's and a special case of Hilbert's 16th problem, Advances in Differential Equations 7 (2002) 197-216.
[10] A. Gasull, A. Guillamon, Limit cycles for generalized Abel equations, Internat J. Bifur. Chaos 16 (2006) 3737-3745.
[11] A. Gasull, J.Llibre, Limit cycles for a class of Abel equations, SIAM J. Math. Anal. 21 (1990) 1235-1244.
[12] A. Gasull, R. Prohens, J. Torregrosa, Limit cycles for rigid cubic systems, J. Math. Anal. Appl. 303 (2005) 391404.
[13] A. Gasull, J. Torregrosa, Some results on rigid systems, Equadif 2003, World Sci. Publ., Hackensack, NJ 2005, 340-345.
[14] A. Gasull, J. Torregrosa, Exact number of limit cycles for a family of rigid systems, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005) 751-758.
[15] D. Hilbert, Mathematical problems, Bull. Amer. Math. Soc. 8 (1902), 437479; reprinted, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 37 (2000), 407436.
[16] Yu. Ilyashenko, Hilbert-type numbers for Abel equations, growth and zeros of holomorphic functions, Nonlinearity 13 (2000) 1337-1342.
[17] A. Lins Neto, On the number of solutions of the equation dx/dt = P4 j=0 aj(t)xj ; 0 _ t _ 1; for which x(0) = x(1), Inv. Math. 59 (1980)69-76.
[18] A. A. Panov, The number of periodic solutions of polynomial differential equations, Math. Notes 64 (1998) 622-628.
