Resumen de Superficies con curvatura media predeterminada
Uno de los problemas fundamentales dentro del Análisis Geométrico y la Geometría Diferencial clásica es el estudio de las hipersuperficies del espacio euclídeo R^{n+1} que cumplen una relación predeterminada entre sus curvaturas principales y su aplicación de Gauss en cada punto. Dentro de este marco general, dos de las teorías principales son el estudio de las hipersuperficies de curvatura media constante, y los problemas de tipo Minkowski para ovaloides.
Las hipersuperficies de curvatura media constante en R^{n+1} aparecen como puntos críticos de un problema variacional de minimización de área, con respecto a variaciones normales de soporte compacto que conservan el volumen. Entre los problemas clave de esta teoría destacan el estudio y clasificación geométrica de las hipersuperficies de curvatura media constante dadas por condiciones topológicas y geométricas globales tales como completitud, compacidad, embebimiento, o restricciones sobre el tipo topológico, así como sobre la estabilidad de la hipersuperficie como solución a su problema variacional asociado. El caso de superficies de curvatura media constante en R3 es sin duda el que mayor atención ha atraído a lo largo de los años.
Por otra parte, el problema de Minkowski para ovaloides pide, dada una función positiva F definida en la esfera unidad de R^{n+1}, determinar la existencia y unicidad de una hipersuperficie, M, compacta, estrictamente convexa en R^{n+1} cuya curvatura de Gauss-Kronecker en cada punto p de M viene dada por el valor F(N(p)), donde N es la aplicación de Gauss de M.
Los dos tipos de problemas que acabamos de mencionar confluyen de manera natural en el estudio de las hipersuperficies M de R^{n+1} cuya curvatura media viene dada como una función predeterminada en términos de su normal unitario. Específicamente, dada una función H de clase C1 definida en la esfera unidad Sn del espacio euclídeo R^{n+1}, diremos que una hipersuperficie M orientada, inmersa en curvatura media predeterminada H si su función curvatura media en cada punto p de M viene dada por el valor H(N(p)), donde N es la aplicación de Gauss de M.
En esta memoria hemos desarrollado una teoría global de hipersuperficies con curvatura media predeterminada, tomando como motivación inicial la teoría global de hipersuperficies con curvatura media constante. En particular, nos hemos centrado en la teoría global superficies con curvatura media predeterminada en R3, extendiendo a este contexto más general algunos teoremas conocidos sobre superficies con curvatura media constante en R3.
Bibliografía:
A. Bueno, J.A. Gálvez, P. Mira, The global geometry of surfaces with prescribed mean curvature in R3, preprint (2018), arxiv:1802.08146.
J.A. Gálvez, P. Mira, A Hopf theorem for non-constant mean curvature and a conjecture of A.D. Alexandrov, Math. Ann, 366 (2016), 909--928.
B. Guan, P. Guan, Convex hypersurfaces of prescribed curvatures, Ann. Math. 156 (2002), 655--673.
H. Minkowski, Volumen und Oberfläche, Math. Ann. 57 (1903), 447--495.
