Resumen de Métodos numéricos bien equilibrados de alto orden para sistemas hiperbólicos no conservativos. Aplicaciones a modelos de aguas someras
El objetivo de la memoria es el diseño de métodos numéricos de volúmenes finitos adecuados para la resolución de problemas que surgen en la dinámica de fluidos geofísicos.
Una vez que los problemas planteados son formulados como sistemas hiperbólicos no conservativos, se introducen los conceptos básicos relacionados con tales sistemas y se establecen los requisitos necesarios para que cierto tipo de esquemas numéricos, denominados esquemas camino-conservativos, asi como sus extensiones de alto orden, sean exactamente bien equilibrados.
Una de los principales aportaciones de la memoria es proporcionar una estrategia general para la obtención de un operador de reconstrucción exactamente bien equilibrado basado en un operador de reconstrucción estándar. Dicha estrategia se aplica en primer lugar a leyes de equilibrio con flujos lineales para obtener extensiones de alto orden del método de Godunov. A continuación se presentan aplicaciones al sistema de aguas someras tanto de una capa como de dos capas. En el primer caso, la aplicación de la estrategia general requiere un tratamiento especial en las proximidades del punto critico cuando se resuelven soluciones estacionarias con una transición. En el caso de fluidos bicapa, se considera una variante de la estrategia general que permite obtener un operador de reconstrucción exactamente bien equilibrado para una solución estacionaria conocida.
Finalmente, se aborda la modelización numérica de fluidos en rotación. En concreto, se considera un sistema de aguas someras en rotación, para el que se diseñan esquemas numéricos que simulen satisfactoriamente el proceso denominado ajuste geostrófico. Por las características de este proceso, los esquemas numéricos se diseñan para que, por un lado, sean bien equilibrados y, por otro, presenten buenas propiedades de dispersión. El buen equilibrado corre a cargo de la discretización espacial mientras que la discretización temporal, basada en un método simpléctico para el sistema Hamiltoniano inducido por el término de Coriolis, logra evitar la amplificación de las oscilaciones inerciales que producen algunos métodos de uso bastante extendido al tiempo que mejora la relación de dispersión de los esquemas semidiscretos a los que se aplica. Los experimentos numéricos presentados son acordes a los resultados obtenidos del análisis del buen equilibrado y de las leyes de dispersión de los esquemas numéricos propuestos.
