Singular integrals and boundary value problems for elliptic systems
- Autores: Juan Marín García
- Directores de la Tesis: José María Martell Berrocal (dir. tes.), Marius Mitrea (codir. tes.), Eugenio Hernández Rodríguez (tut. tes.)
- Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2019
- Idioma: inglés
- Tribunal Calificador de la Tesis: José García-Cuerva Abengoza (presid.), Xavier Tolsa Domènech (secret.), Andrew Morris (voc.)
- Programa de doctorado: Programa de Doctorado en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid
- Materias:
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- Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
- Resumen
Esta tesis está dedicada al estudio de varios problemas que se encuentran en la intersección del análisis armónico, las ecuaciones en derivadas parciales y la teoría geométrica de la medida. Estudiamos cómo la geometría de un dominio influye en las propiedades de acotación de ciertos operadores definidos en su frontera y las aplicaciones de este hecho a los problemas de valor en la frontera para sistemas elípticos de segundo orden, homogéneos, con coeficientes complejos constantes. Más específicamente, el comportamiento del vector normal unitario exterior, que juega un papel central en este trabajo, es la característica geométrica clave que nos permitirá acotar operadores integrales singulares (como las transformadas de Riesz o los potenciales de capa) en ciertos espacios de funciones. A su vez, este es un paso fundamental para el estudio de los problemas de valor en la frontera en dominios SKT no acotados. En la dirección contraria, usando estos operadores extraemos información sobre la geometría del dominio, en función del comportamiento de su vector normal unitario exterior.
También se trata el caso del semiespacio superior, estableciendo resultados para el problema de Dirichlet con dato en la frontera en espacios generalizados de Hölder y Morrey-Campanato. Además, se muestra un teorema de tipo Fatou y una fórmula de representación integral de Poisson para soluciones en el semiespacio superior.
Por último, se establece una caracterización para dominios de Lyapunov, que son conjuntos abiertos con perímetro localmente finito cuyo normal unitario exterior pertenece a un espacio de Hölder generalizado. Esta caracterización viene dada en términos de las propiedades de acotación de ciertas clases de operadores integrales singulares actuando en espacios de Hölder generalizados en la frontera de un dominio Ahlfors regular con frontera compacta. El ejemplo más importante de estos operadores integrales singulares son las transformadas de Riesz.
