Resumen de Análisis y control de algunas EDPS no lineales

Irene Marín Gayte

• español

  En este trabajo se presentan varios resultados de tipo teórico y numérico para diversos problemas diferenciales. Comenzamos analizando un resultado de existencia de solución “admisible” para las EDPs de Navier-Stokes con condiciones de contorno de tipo Dirichlet. A continuación, tratataremos dos problemas de control óptimo multi-objetivo asociados a EDPs estacionarias (elíptica lineal y semi-lineal y Navier-Stokes). Por otro lado, estudiaremos problemas de tiempo mínimo para EDOs y para la ecuación del calor. También, obtendremos y analizaremos resultados de controlabilidad nula para una EDP parabólica quasi-lineal. Finalmente, presentaremos métodos de aproximaci ón numérica de controles nulos parabólicos semi-lineales basados en mínimos cuadrados. A lo largo de la Historia el hombre siempre ha estado en constante búsqueda de leyes y principios que rijan formas o fenómenos naturales, con el propósito de explicar o entender el comportamiento de la Naturaleza. Así, el francés Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) enunció, en 1744, el principio de Mínima Acción, por el cual se establece que: “En todo cambio que se produzca en la Naturaleza, la cantidad de acción necesaria ha de ser la mínima posible”. Este es un principio físico que posteriormente las Matemáticas han fundamentado rigurosamente. En particular, se han desarrollado las técnicas necesarias para dar respuesta a una amplia clase de problemas de optimización, originándose así la Teoría de Control. El control de ecuaciones y sisemas diferenciales ha recibido mucha atención en los últimos tiempos. En particular, el estudio de problemas asociados a EDOs y EDPs no lineales ha generado una amplia y profunda área de investigación, dando informaciones cruciales sobre un número creciente de fenómenos de las distintas ramas de la Ciencia como Física, Biología, Economía, Medicina, etc. e Ingeniería. Muchos son los campos donde se presentan retos para la Teoría de Control. En algunos casos se confía en ser capaces de resolver éstos mediante avances tecnológicos que permitan la implementaci ón de controles más eficientes; es el caso, por ejemplo, del control molecular mediante tecnología láser o de la Robótica. Por otro lado, el control de fluidos presenta grandes retos debido a su poder para evitar desastres medioambientales, como las inundaciones. En este campo, las ecuaciones de Navier-Stokes nos ayudan a modelar y describir el movimiento de los fluidos. Este control puede aplicarse también al campo aeroespacial, en el que se busca optimizar la forma o perfil del ala de una aeronave, de manera que se gobierne el flujo de aire que hay a su alrededor. También tienen relevancia aplicaciones en Medicina, donde se pretende controlar el comportamiento de los fluidos que invaden células o moléculas que se incorporan a la sangre; por ejemplo, en personas diabéticas debemos controlar la concentración de glucosa e insulina. En todas estas aplicaciones se necesitan importantes avances teóricos y aunque en los últimos a˜nos se ha progresado considerablemente en el estudio de la Teoría de Control, aún quedan multitud de preguntas y retos sin resolver. Así la memoria está dividida en seis capítulos. Cada uno de ellos aborda un problema distinto. En el primer capítulo, se da una nueva prueba del resultado presentado por Caffarelli-Kohn- Nirenberg en 1982. Este trabajo es de corte más teórico y se basa en un análisis detallado de las propiedades de las aproximaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes. En este sentido, somos capaces de demostrar que el límite de las sucesiones dadas por un esquema de Euler semi-implícito, 2 tanto en el caso semi-discretizado como completamente discretizado, aplicado a la ecuación de Navier-Stokes en dimensión 3 con condiciones de Dirichlet, es una solución “admisible” en el sentido de Scheffer. El interés práctico de esta nueva prueba reside principalmente en que esta demostración ayuda en la comprobación de los criterios de Caffarelli-Kohn-Nirenberg y, también, podría ayudar a localizar los puntos singulares, gracias a que las soluciones son límites de sistemas discretos. Las técnicas aquí utilizadas se pueden aplicar a muchos otros esquemas de aproximación que conducen a desigualdades de energía análogas. En el segundo capítulo abordamos un problema de control multi-objetivo. En este caso estudiaremos la existencia, caracterización, aproximación y simulación numérica de los equilibrios de Pareto asociados a problemas de control óptimo para una EDP de Poisson, una EDP elíptica semilineal y las ecuaciones de Navier-Stokes estacionaria. Análogamente, en el capítulo tercero estudiaremos para estos mismos problemas los equilibrios de Nash tanto desde el punto de vista teórico como numérico. En estos dos trabajos hemos utilizado el formalismo de Dubovitskii-Milyoutin en los casos en que los argumentos clásicos de convexidad fallan como es en el caso de las ecuaciones de Navier-Stokes estacionaria. El interés de estos trabajos es que proporcionan una nueva visión de los equilibrios de Pareto y de Nash asociados a problemas de control óptimo, algo que se puede extender y aplicar a muchas otras ecuaciones y sistemas. En el cuarto capítulo estudiamos problemas de tiempo mínimo. ´ Estos se corresponden con problemas de control óptimo en el que dentro del funcional que se desea minimizar se incluye también la variable temporal, de modo que no sólo se desea resolver el problema con mínimo “esfuerzo” posible sino también en el menor tiempo posible. En este caso, comenzaremos el estudio viendo qué ocurre cuando nos encontramos con el problema asociado a EDOs lineales y no lineales. Así, terminaremos el trabajo presentando resultados para la EDP del calor. Se dan varios algoritmos que permiten calcular el óptimo y además se incluyen varias simulaciones numéricas. En el quinto y sexto capítulo abordaremos cuestiones relacionadas con la controlabilidad. El primero de ellos, en el Capítulo 5 es el problema de controlabilidad nula asociada a una EDP de tipo parabólica quasi-lineal. Así, estudiaremos la existencia y caracterización de solución para este problema y terminaremos introduciendo un esquema numérico de aproximación y su posterior simulación en el ordenador. Para la demostración de que el sistema es controlable a cero, usaremos las estimaciones de Carleman y nos serviremos de un sistema auxiliar linealizado. También, el algoritmo de aproximación que usaremos es de tipo quasi-Newton. En el sexto capítulo terminaremos abordando el problema de controlabilidad nula para la EDP del calor semi-lineal. En este caso, para demostrar que el sistema es controlable a cero, usaremos de nuevo las estimaciones de Carleman pero nos basaremos también en una aproximación de tipo mínimos cuadrados, es decir, buscaremos la solución como el mínimo de un funcional cuadrático. El método aquí aportado nos ayuda a caracterizar la solución y poder luego incluir resultados y simulaciones.

• English

  This work is framed within the field Theory of Partial Differential Equations. The study is divided into three main parts. In the first part, a work related to the theoretical analysis of a PDE is provided, specifically, the existence of a kind of solution for the Navier-Stokes equation is studied. The second part includes three works related to Optimal Control Theory. Here, two bi-objective problems associated with some PDEs and a minimal time control problem are added. The work ends including a last part with two works related to controllability problems. Then, it has included a null control problem associated with a nonlinear equation and with a semilinear heat equation. All the numerical implementations have been carried out with MatLab and FreeFem ++ . The conclusions are detailed separately in each chapter.