Resumen de New perspectives on classical automata constructions
La Teoría de Autómatas es una de las teorías matemáticas más fundamentales, que se encarga del estudio de máquinas abstractas, o autómatas, y sus capacidades computacionales.
En esta tesis nos centramos en los modelos de autómatas de estados finitos y de pila, así como en las gramáticas libres de contexto.
Estos modelos encuentran aplicación, por ejemplo, en el diseño y verificación formal de software y hardware, en técnicas de proceso de lenguaje natural o en compresión de imágenes digitales.
Todas estas aplicaciones están basadas en nociones de Teoría de Lenguajes y Autómatas sobre las que existen numerosas cuestiones sin resolver a día de hoy.
El objetivo de esta tesis es dar una nueva perspectiva teórica a un conjunto de cuestiones abiertas que tratan fundamentalmente sobre construcciones clásicas de autómatas y algoritmos conocidos.
La herramienta matemática subyacente para resolver estas cuestiones son las relaciones de equivalencia sobre palabras, interpretadas como abstracciones del lenguaje.
Primero, estudiamos algoritmos de minimización de autómatas de estados finitos, esto es, métodos para obtener el autómata determinista con el mínimo número de estados dado un lenguaje regular.
Estos algoritmos juegan un papel crucial en aplicaciones de procesado de texto y diálogo, análisis de imágenes y verificación de programas.
Mientras que la mayoría de las técnicas de minimización se basan en fusionar estados equivalentes o refinar iterativamente una partición inicial del conjunto de estados del autómata, como los algoritmos de Hopcroft o Moore, el conocido algoritmo de Brzozowski se aleja de estas técnicas, ya que simplemente combina dos conocidas operaciones sobre autómatas para obtener el autómata mínimo.
En esta tesis, buscamos entender la base teórica a nivel del lenguaje del algoritmo de Brzozowski y su conexión con los algoritmos que se basan en refinar una partición inicial de estados, una cuestión que a día de hoy sigue despertando interés.
Nuestra contribución principal es ofrecer un marco uniforme de construcciones de autómatas deterministas definidas a partir de equivalencias sobre palabras que permite dar una prueba más simple del algoritmo de Brzozowski y clarificar la relación entre este método y las otras técnicas de minimización.
En segundo lugar, comparamos los autómatas de pila con las gramáticas libres de contexto y los autómatas de estados finitos en cuanto a su complejidad descriptiva cuando todos estos formalismos describen lenguajes Parikh-equivalentes.
La equivalencia de Parikh es una noción más débil que la usual equivalencia de lenguajes bajo la cual el orden de los símbolos en las palabras no es importante.
Su interés se debe al célebre Teorema de Parikh que establece que todo lenguaje libre de contexto es Parikh-equivalente a un lenguaje regular.
Nuestra contribución principal es dar una familia infinita de autómatas de pila definidos sobre un alfabeto con un único símbolo que permite dar cotas inferiores en el número de variables (resp. de estados) de la gramática (resp. autómata) más pequeña con el mismo lenguaje.
Como la equivalencia de Parikh coincide con la de lenguajes cuando el alfabeto sólo tiene un símbolo, cumplimos el objetivo planteado obteniendo cotas inferiores para equivalencia de Parikh también.
Al comparar estas cotas con cotas superiores conocidas, concluimos que algoritmos ya existentes de conversión entre estos formalismos son óptimos.
Por último, buscamos extender el Teorema de Parikh al modelo de autómatas con pesos.
Es bien conocido que este teorema no se cumple para lenguajes con pesos.
Por ello, estudiamos condiciones suficientes bajo las cuales la propiedad de Parikh se cumpla.
Demostramos que toda gramática libre de contexto con pesos sobre un semianillo conmutativo que sea no-expansiva satisface la propiedad de Parikh.
Además, damos un procedimiento de decisión para dicha propiedad sobre el semianillo de los racionales que se basa en el uso de bases de Groebner.
