Resumen de Vector bundles and sheaves on toric varieties
En el ámbito de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa, esta tesis contribuye al estudio de los haces y los fibrados vectoriales en variedades tóricas. A lo largo de la tesis, se utiliza, desde perspectivas diferentes, la teoría de variedades tóricas en relación con dos objetivos principales: aprofundir en el conocimiento de la estructura de los haces equivariantes en variedades tóricas, y contribuir a la conjetura de Ein- Lazarsfeld-Mustopa sobre la estabilidad de los fibrados de sizigias en variedades proyectivas.
Después de un Capítulo 1 preliminar sobre variedades tóricas, el texto se desarrolla imponiendo estructuras más concretas sobre la tipología de los haces que se investigan. Comenzando por haces libres de torsión, y pasando por el estudio de los haces reflexivos, la disertación termina con el estudio de los fibrados de sizigias en variedades proyectivas.
En el Capítulo 2, nos centramos en el estudio de los haces equivariantes libres de torsión, que guardan una estrecha relación con la teoría de ideales monomiales. Se introduce la noción de diagrama de Klyachko para un ideal monomial, que generaliza el clásico diagrama en escalera. Este diagrama se utiliza posteriormente para describir el primer módulo de cohomología local, así como para calcular la función de Hilbert de un ideal monomial.
El Capítulo 3, se centra en el estudio de haces reflexivos equivariantes en una variedad tórica. Se introduce una familia de politopos reticulares que describen cómo varía la dimensión del espacio de secciones globales de un haz reflexivo equivariante cuando lo torzamos sucesivamente con un fibrado de linea. Esta familia de politopos se utiliza para calcular el polinomio de Hilbert y dar cotas para la regularidad de un haz reflexivo equivariante.
Así mismo, se aplican estos resultados para buscar fibrados Ulrich equivariantes sobre la superfície de Hirzebruch, y se da un ejemplo de un fibrado Ulrich de rango 3 sobre la primera superficie de Hirzebruch.
El Capítulo 4, trata de la estabilidad de los fibrados de sizigias sobre una variedad tórica proyectiva. Demostramos que, para cualquier polarización del blow-up de un espacio proyectivo a lo largo de un subespacio lineal, el correspondiente fibrado de sizigias es estable, contribuyendo así a la conjetura de Ein-Lazarsfeld-Mustopa. Finalmente se estudia la rigidez de dichos fibrados de sizigias, y las propiedades locales del correspondiente espacio de móduli.
