Resumen de Bifurcaciones locales y globales en sistemas dinámicos y autónomos

María de la Cinta Domínguez Moreno

• español

  En esta memoria analizamos determinados aspectos de la dinámica en varios sistemas tridimensionales. En los dos primeros capítulos estudiamos singularidades en el modelo de Lorenz. En el capítulo 1 llevamos a cabo un estudio completo de la bifurcación de Hopf que experimentan tanto el equilibrio en el origen como los equilibrios no triviales, así como sus degeneraciones. Demostramos la existencia de bifurcaciones de codimensión uno, dos y tres y de regiones del espacio de parámetros donde el equilibrio en el origen experimenta una bifurcación de Hopf degenerada de codimensión infinita. En el capítulo 2 estudiamos la bifurcación de Takens-Bogdanov del equilibrio en el origen. Determinamos para qué valores de los parámetros es de tipo homoclino o de tipo heteroclino, así como sus degeneraciones. En concreto, cuando es de tipo homoclino, encontramos una degeneración de codimensión infinita. El estudio numérico detallado que llevamos a cabo nos permite encontrar bifurcaciones de Takens-Bogdanov de órbitas periódicas. Estas degeneraciones de codimensión dos organizan bifurcaciones (de ruptura de simetría, de duplicación de periodo, sillas-nodo y a toros) en las correspondientes órbitas periódicas, de forma que la presencia de caos de Shilnikov está garantizada en algunos casos. En el capítulo 3 estudiamos una bifurcación doble-cero en un modelo triparamétrico que despliega la bifurcación triple-cero del sistema de Lorenz. Demostramos que organiza a su alrededor varios tipos de bifurcaciones (transcrítica, pitchfork, Hopf y ciclo heteroclino) y damos las expresiones aproximadas de las curvas correspondientes. El estudio numérico nos permite detectar varias conexiones homoclinas y heteroclinas degeneradas, ciclos heteroclinos puntos T y atractores caóticos. Así mismo, obtenemos cuatro curvas de bifurcaciones globales de codimensión dos que están relacionadas con la bifurcación triple cero. En el capítulo 4 consideramos un sistema tridimensional, biparamétrico, cuyas ecuaciones sólo tienen seis términos y dos no linealidades. Comenzamos estudiando la bifurcación de Hopf de su único equilibrio. Después, un cuidadoso estudio numérico de las conexiones homoclinas, en la región en que dicho equilibrio es silla real, nos permite detectar una bifurcación homoclina flip de tipo Cin. Se trata del primer ejemplo en la literatura de un sistema tridimensional que experimenta esta bifurcación, la cual conlleva la presencia de comportamientos caóticos. Por último, en el capítulo 5, para complementar los resultados obtenidos en el capítulo 3, nos interesamos por el análisis de la bifurcación doble-cero que experimenta el equilibrio del origen en el sistema de Lorenz. Como en este caso el equilibrio no es aislado, no podemos utilizar las técnicas analíticas usuales. Para solventar esta dificultad añadimos un nuevo término cuadrático en la tercera ecuación del sistema de Lorenz. El estudio teórico de esa singularidad en este sistema cuasi-Lorenz nos garantiza, para ciertos valores de los parámetros, la existencia de un ciclo heteroclino. A continuación, el análisis numérico en el espacio de parámetros de esta conexión heteroclina nos permite detectar ciertas degeneraciones de las conexiones globales que actúan como centros organizadores de la compleja dinámica del sistema. Si observamos la evolución de este conjunto de degeneraciones cuando el coeficiente del nuevo término introducido se aproxima a cero, podemos entender, en el sistema de Lorenz, el origen de una sucesión infinita de conexiones globales que ya se mencionaba en la literatura, pero cuyo origen era desconocido.

• English

  In this thesis we analyze some aspects of the dynamics in several three-dimensional systems. In the first two chapters we study the singularities in the Lorenz system. In chapter 1 we carried out a complete study of the Hopf bifurcation experienced by both the equilibrium at the origin and the nontrivial equilibria, as well as their degeneracies. We prove the existence of bifurcations of codimension one, two and three, as well as regions of the parameter space where a degenerate Hopf bifurcation of infinite codimension occurs. In chapter 2 we study the Takens-Bogdanov bifurcation of the equilibrium at the origin. We determine for which parameter values it is of homoclinic or heteroclinic type, as well as its degeneracies. Concretely, we find a degeneracy of infinite codimension when it is of homoclinic type. Our detailed numerical study allows us to find Takens-Bogdanov bifurcations of periodic orbits. These codimension two degenerations organize bifurcations (symmetry breaking, period doubling, saddle-node and torus) in the corresponding periodic orbits, so that the presence of Shilnikov chaos is guaranteed in some cases. In chapter 3 we study a double zero bifurcation in a triparametric system that unfolds the triple zero bifurcation of the Lorenz system. We demonstrate that it organizes around it several types of bifurcations (transcritical, pitchfork, Hopf and heteroclinic cycle) and we provide the approximate expressions of the corresponding curves. The numerical study allows us to detect several homoclinic and heteroclinic degenerate connections, heteroclinic T-point cycles and chaotic attractors. Furthermore, we obtain four curves of global bifurcations of codimension two which are related to the triple-zero bifurcation. In chapter 4 we consider a two-parameter quadratic three-dimensional system with only six terms and two nonlinearities. First, we study the Hopf bifurcation of its only equilibrium. Then, a careful numerical study of the homoclinic connections, in the region where this equilibrium is real saddle, allows us to detect a homoclinic flip bifurcation of Cin type. This is the first example in the literature of a three-dimensional system exhibiting this bifurcation, which leads to the presence of chaotic behaviour. Finally, in chapter 5, to complement the results obtained in chapter 3, we are interested in the analysis of the double-zero bifurcation that the equilibrium of the origin undergoes in the Lorenz system. Because in this case the equilibrium is not isolated, we cannot use the usual analytical techniques. To circumvent this difficulty, we add a new quadratic term in the third equation of the Lorenz system. The theoretical study of this singularity in this quasi-Lorenz system guarantees, for certain values of the parameters, the existence of a heteroclinic cycle. Next, the numerical analysis in the parameter space of this heteroclinic connection allows us to detect certain degeneracies of the global connections which act as organizing centers of the complex dynamics of the system. If we analyze the evolution of this set of degeneracies when the coefficient of the new term introduced approaches zero, we can understand, in the Lorenz model, the origin of an infinite succession of global connections that was already mentioned in the literature but whose origin was unknown.