Resumen de S-Coherent measures pairs and Orthogonal polynomials with respect to Sobolev products. Applications
En esta disertación, el concepto de s−coherencia, o (1, 1)−coherencia simétrica, de pares de funcionales lineales regulares y los polinomios ortogonales con respecto a cierto producto interno de tipo Sobolev, juegan un papel preponderante. El concepto de par simétrico (1, 1)− coherente es definido de la siguiente forma. Sean u y v dos funcionales lineales, simétricos y regulares, donde {Pn}n≥0 y {Rn}n≥0 representan sus respectivas sucesiones de polinomios ortogonales mónicos, (para ser breves escribiremos SPOM). Supongamos que existen sucesiones no nulas de números reales {an}n≥0 y {bn}n≥0 , with anbn 6= 0, tales que P 0 n+3(x) n + 3 + an P 0 n+1(x) n + 1 = Rn+2(x) + bnRn(x), n ≥ 0, es satisfecha. Entonces el par {u, v} se denomina par sim´etrico (1, 1)−Coherente. Este concepto es introducido en [34] como una extensión natural del concepto de par simétrico coherente estudiado en [55]. La estructura de este trabajo es la siguiente. Primero, una clasificación de pares simétricos (1, 1)−coherentes es establecida usando cierto proceso de simetrización. Adicionalmente estudiamos cómo de (1), y usando el proceso de simetrizaci´on, podemos llegar a una interesante relación algebraica no coherente. El problema inverso asociado a esta relación es analizado exhaustivamente. Luego, consideramos el producto interno de tipo Sobolev hp, qiS = Z R p(x)q(x)dµ0(x) + λ Z R p 0 (x)q 0 (x)dµ1(x), λ 0, donde asumimos que u y v son definidos positivos con µ0 y µ1 como las respectivas medidas de Borel y S λ n n≥0 como la SPOM asociada con (2). Entonces la relación algebraica S λ n+3(x) + ηn(λ)S λ n+1(x) = Pn+3(x) + eanPn+1(x), es considerada, donde especial atención es puesta en los llamados coeficientes de Sobolev {ηn(λ)}n≥0 . Entonces, sus propiedades de recurrencia como las de las respectivas normas de Sobolev n S λ n 2 S o n≥0 son estudiadas. De otro lado, el caso particular del par simétrico (1, 1)−coherente {µ0, µ1} , dµ0 = e −x 2 dx, dµ1 = x 2+a x2+b e −x 2 dx, es tenido en cuenta. Así, el comportamiento límite de los coeficientes de Sobolev y propiedades asintóticas de los polinomios de Sobolev son estudiados exhaustivamente. Finalmente exhibimos un algoritmo para calcular los coeficientes de Fourier en expansiones de funciones en el espacio de Sobolev W1 2 [R, µ0, µ1] a través de polinomios de Sobolev. Para este fin seguimos las ideas planteadas en [55].
