Barcodes of Persistence Modules: from Summaries to Matchings

• Autores: Manuel Soriano Trigueros
• Directores de la Tesis: María del Rocío González Díaz (dir. tes.), María José Jiménez Rodríguez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Sevilla ( España ) en 2023
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 94
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Idus
• Resumen
  • English

    During recent decades, the application of topology to data analysis has experienced a revolution due to persistent homology. Persistent homology and its barcode representation offer many advantages to data analysis, such as the stability of the results and the possibility of quantifying qualitative geometric and topological features. The aim of this thesis is to enrich the existing knowledge about persistent homology and barcodes from three different perspectives. Each of these perspectives has led to a publication that together constitute the core of this thesis. First, from a statistical perspective, we study the stability properties of persistent entropy, a variable used to compare barcodes. In addition, we propose a new barcode vectorization method based on persistent entropy, which is more suitable for machine learning than persistent entropy itself. Second, from an applied perspective, we use barcode summaries to study the geometric and topological features of 2D images of epithelial cells. Lastly, from the algebraic perspective, we study how we can induce a partial matching between barcodes from a morphism between persistence modules, the algebraic structure underlying persistent homology. This study has led to the definition of an operator for such morphisms, called the induced block function. Moreover, we study some of its theoretical properties, such as linearity with respect to direct sums, and provide an algorithm to compute it in polynomial time.

  • English

    Durante las últimas décadas, la aplicación de la topología al análisis de datos ha sufrido una revolución gracias a la homología persistente. La homología persistente y su representación en códigos de barras poseen propiedades ventajosas para el análisis de datos, como la estabilidad de los resultados y la posibilidad de cuantificar cualidades geométricas y topológicas. El objetivo de esta tesis es avanzar en el estudio de la homología persistente y los códigos de barras desde tres perspectivias distintas. Cada una de estas perspectivas han dado lugar a una publicación diferente, siendo estas la parte central de esta tesis. Primero, desde el punto de vista estadístico, estudiamos la estabilidad de la entropía persistente. Además, proponemos un nuevo método de vectorización de códigos de barras basado en la entropía persistente, pero especialmente pensado para su uso en aprendizaje automático. En segundo lugar, desde un punto de vista aplicado, usamos variables resúmenes de los códigos de barras para estudiar las características geométricas y topológicas de los tejidos epiteliales. Por último, desde un punto de vista algebraico, estudiamos cómo podemos inducir un emparejamiento parcial entre códigos de barras a partir de morfismos entre módulos de persistencia (la estructura algebraica que subyace a la homología persistente). Esto nos conduce a definir un operador para dichos morfismos, llamado función de bloques inducida, del que estudiamos sus propiedades teóricas, como la linealidad respecto de la suma directa, y proporcionamos un algoritmo para calcularlo en tiempo polinomial.