Solutions for the Muskat equation with quadratic growth at infinity

• Autores: Omar Sánchez Antonio
• Directores de la Tesis: Daniel Faraco Hurtado (dir. tes.), Ángel Castro Martínez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2025
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 176
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  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • Esta tesis se centra en el estudio de soluciones especiales de la ecuación de Muskat para el caso de dos fluidos con diferentes densidades. Esta ecuación describe la evolución de la interfaz que separa a los fluidos en un medio poroso.

    Los primeros estudios que demostraron la existencia de soluciones para el problema de Muskat consideraban el caso de interfaces que eran asintóticamente planas o periódicas en la variable horizontal. Recientemente, varios autores han proporcionado algunos resultados que también prueban la existencia de soluciones con cierto crecimiento en el infinito. De manera notable, ninguna de estas soluciones ha alcanzado un crecimiento cuadrático hasta nuestro resultado. Las soluciones especiales que consideramos son de la siguiente forma h(x, t) = x2 + ct + g(x, t), y nos enfocamos en la existencia local de este tipo de soluciones, donde g pertenece a un espacio de Sobolev adecuado. En particular, g tiende a cero y, de manera notable las soluciones crecen cuadráticamente en el infinito.

    Para la demostración de la existencia usamos el método de estimaciones de energía es espacios de Sobolev.

    Después de probar la existencia de soluciones con crecimiento cuadrático en el infinito, una pregunta natural que surge es, si estas soluciones persisten para siempre o, por el contrario, si existen soluciones que desarrollan una singularidad. Demostraremos que, de hecho, ocurre el segundo caso. La segunda parte de la tesis se centra en la búsqueda de singularidades tipo turning.

    En una singularidad de tipo turning la solución comienza en el régimen estable de modo que puede ser parametrizada como el grafo de un función. Después en un tiempo finito la solución gira y ya no puede parametrizarse como el grafo de una función. Para demostrar que existen este tipo de soluciones, se debe garantizar la existencia local de soluciones para datos iniciales cuya función de Rayleigh-Taylor no es estrictamente positiva. Esto se logra utilizando una versión abstracta del Teorema de Cauchy-Kowaleski, y datos iniciales analíticos.

    En el capítulo capitulo final, consideramos una modificación de la ecuación de Muskat que tiene en cuenta la tensión superficial. Esta nueva fuerza se introduce a través de una discontinuidad en el salto de la presión a lo largo de la interfaz, proporcional a la curvatura. En este caso, no tratamos con soluciones que crecen cuadráticamente en el infinito, sino con interfaces asintóticamente planas. En este capítulo damos una descripción de las soluciones estacionarias para el problema de Muskat con tensión superficial, buscando soluciones 2π periódicas