Métodos numéricos en diferencias finitas para la resolución de ecuaciones difusivas fraccionarias
- Autores: Joaquín Quintana Murillo
- Directores de la Tesis: Santos Bravo Yuste (dir. tes.)
- Lectura: En la Universidad de Extremadura ( España ) en 2016
- Idioma: español
- Tribunal Calificador de la Tesis: Vicente Feliú Batlle (presid.), María Pilar Velasco Cebrián (secret.), José Luis Gracia Lozano (voc.), Blas Manuel Vinagre Jara (voc.), Enrique Alfonso Abad Jarillo (voc.)
- Programa de doctorado: Programa Oficial de Doctorado en Física
- Materias:
- MSC2000 :
- Enlaces
- Tesis en acceso abierto en: Dehesa
- Resumen
- español
El Cálculo Fraccionario es una herramienta multidisciplinar especialmente idónea para describir la dinámica anómala en sistemas complejos. Dicha descripción se plasma en forma de ecuaciones diferenciales fraccionarias cuya solución analítica puede ser muy difícil de determinar o, directamente, ser inexistente. En consecuencia, es preciso disponer de algoritmos numéricos precisos, estables y bien testados que proporcionen soluciones fiables.
La primera parte de la tesis está dedicada al desarrollo de métodos explícitos en diferencias finitas para la resolución de la ecuación subdifusiva fraccionaria en una dimensión y de la ecuación difusivo-ondulatoria fraccionaria en una dimensión. Se determinan los límites de estabilidad de los algoritmos desarrollados y se estudia la precisión de los mismos, estableciéndose una comparación entre los límites de estabilidad y las precisiones obtenidas. La parte dedicada a métodos explícitos se cierra con la obtención de un algoritmo para resolver la ecuación fraccionaria de cable en una dimensión. Al igual que en los casos anteriores, la estabilidad y la precisión del método son analizadas.
La segunda parte de la tesis se dedica a la construcción de algoritmos adaptativos implementados sobre un esquema implícito incondicionalmente estable. Estos algoritmos se aplican a la resolución de varios problemas subdifusivos en una dimensión, analizándose tanto su precisión como su eficiencia computacional.
En conclusión, los métodos explícitos son fáciles de implementar y poco exigentes computacionalmente, pero son lentos y se vuelven inestables para ciertos valores de los parámetros que definen el tamaño del retículo espacio-temporal. Por el contrario, los métodos implícitos adaptativos son estables y veloces pero requieren un tratamiento computacional más complejo. El error de los métodos adaptativos es homogéneo mientras que el error de los métodos de paso fijo experimenta bruscas variaciones siguiendo el comportamiento de la solución analítica. Los algoritmos adaptativos no mejoran a los de paso fijo para sistemas con soluciones oscilantes alcanzando su eficiencia computacional óptima cuando se aplican a sistemas en los que se alternan regiones de abrupta variación de la solución con otras de cambio suave.
- English
The core of this thesis is the development of numerical algorithms to solve several kinds of fractional diffusion equations, paying special attention to their different stability bounds as well as their accuracy. In the first part, explicit algorithms to solve several problems are posed by means of a uniform discretization of the time fractional derivative which is defined in the Caputo sense as well as in the Riemann-Liouville sense. In the second part of the thesis, implicit algorithms with non-uniform timesteps are developed in order to build very precise and computationally efficient adaptive methods.
- español
