Resumen de Mechanics of nonlinear ultrasound in tissue
Resumen en Inglés:
The study of tissue from the point of view of mechanics provides a tool to understand and unveil its structure as well as its behavior at different scales. Linear theories based on the superposition principle, are an approximation that is devoid of meaning at the micromechanical level. Nonlinear theories generalize this concept where the effect does not need to be a consequence of only the sum of its causes, that is, where the principle of superposition is not valid and they explain the phenomenology of the processes in more precise contexts i.e. weather prediction, cellular competition in biology and propagation of sound through a complex media.
Particularly, Nonlinear Ultrasounds (NLUS) depend on elastic and inelastic constants different from Young's or Elastic's Modulus and Poisson's Coefficient, which can be quite more sensitive to damage and hiperelastic properties in tissues, as they depends on their microestructure.
Throughout History, there are a disparity of unified criteria to consider the Third Order Elastic Constants (TOEC). Landau and Lifshitz in 1941, proposed for the first time in their book "Theory of Elasticity" [1] the TOEC as an exercise or proposed problem, following a series expansion of Hooke's law from the energy.
From the 70's, several visionary researchers on nonlinear waves as Zarembo and Gol'dberg field observed experimentally nonlinear elasticity constants by the finite amplitude techniques. Independently, they were raised theoretical models as Westervelt and Khokhlov, Zabolotskaya and Kuznetsov (KZK), where by making use of resolution proceses mainly based on perturbation theory an analytical solution were established and sometimes comparing with elasticity models. Progress in Science is subject to the application or unification of theories only by standing on the shoulders of giants. Since then, a large number of different references and criteria to encompass nonlinear elastic constants with the corresponding conversion have been published.
In trying to systematize the above, we have found many inconsistencies and contradictions. For example, following a reasonable basis to explore the relationship between nonlinear elasticity and nonlinear acoustics, there are several definitions of the nonlinear acoustic parameter of first order beta (without physical meaning), several TOEC, Westervelt, Burgers and KZK Partial Differential Equations PDE or Nonlinear acoustic models only valid for the case of fluids or solids further with various different solutions suggested.
Therefore it is important to develop a general theory, consistent from the viewpoints of (1) mathematics, (2) the theory of continuum mechanics, (3) of the physics of wave propagation and (4) experimental engineering, that unifies all previous developments.
Mathematics: A framework of PDE should be derived from a consistent series in terms of invariants to rotations and translations are explicitly developed and analyzed, and indexical and vector notation facilitates a clear and unambiguous expression. At this point the families of nonlinear PDE should be well classified to establish the best practice in the relationship between elasticity and acoustics.
Continuum Mechanics: The beginning of a new theory should be expressed without simplifications in a general context without small displacements, correctly defining all the concepts of stress, Piola-Kirchoff tensor, strain tensor, deformation gradient, energy,...
Physics of Waves: The equation of nonlinear waves and definition of nonlinearity from acoustic pressure is solved using perturbation theory as iterative recursive method in converging to the equation of Westervelt, its generalization to multiple harmonics, etc.
Experimental Engineering: To quantify different harmonics from an experimental point of view, the acoustic pressures are measured with hydrophones and oscilloscopes, in different configurations via harmonic generation methods, as well as nonlinear interactions of ultrasonic waves, exciting with different types of source waves, Primary (P), Secondary (S), and their combinations.
This thesis, provides an unified derivation of the theories of nonlinear elasticity based on the classical continuum mechanics. It establishes a relationship with the classical nonlinear acoustics from a new perspective that is validated with the results by Hamilton and Norris [2].
This analysis leads us to unify criteria and break down of the definition of the parameter beta previously mentioned, to develop an equation of Westervelt, generalized for harmonics of any order, and to establish a new theory of nonlinear acoustics, expanding into four types of nonlinearity, whose origin is based on the contribution of the liquid phase and the fiber or collagen phase, which is crucial to explain and understand the hyperelasticity and wave propagation in quasi-fluids and tissue. The potential impact of this technique involves a new approach in the tissue characterization with clinical applications due to the separation of nonlinear phases of tissue revealing their main mechanism that is relevant in the diagnosis and therapy of many tissue disorders.
The different results that arise as a consequence of this theory, are experimentally validated in several setups in different materials by developing new non-destructive evaluation techniques. They are (1) Non-linear mixing with a single transducer to measure and quantify the nonlinearity of water, (2) nonlinear mixing with two transducers in angle to characterize aluminum, and (3) a new torsional sensor for characterizing hydrogels, silicones and tissues, which has been designed, optimized and prototyped.
Finally, this thesis proposes a possible explanation on how the nolinearity is caused by damage from microcracks. The Homogenization theory developed by Eshelby in 1956 [3], is used for this purpose. Subsequently, the case of a material is resolved with inclusions with geometric form of spheroids. Note that the theoretical and experimental scheme proposed could be relevant in the development of new medical devices for bone quality assessment and the osteoporosis diagnosis.
The analysis of nonlinearity from the point of view of the theory of Elasticity and ultrasonic waves has been considered since the middle of the twentieth century. Nowadays, the relationship between these fields carry out a challenge due to its applications in the biomedical research. This thesis (1) provides a deeper knowledge about the mechanisms that unify nonlinear classical ultrasound and nonlinear elasticity according the references founded, (2) generates a new approach extending the classical nonlinear wave equation which presents a separation of fluid and matrix phases of a material or tissue, (3) suggests microdamage as a possible source of nonlinearity and (4) explores the possibility of measure the nonlinenar acoustic expansion with three experiment designed and validated building and manufacturing the devices.
Conclusion Nonlinear Elasticity Unification Through the unification of Third Order Elastic Constants and its derivation by invariants in nonlinear elasticity, a specific relationship between nonlinear elasticity up to fourth order and nonlinear acoustic parameters until third order have been developed. This allows to formulate the constitutive equation in terms of anisotropy and isotropy. It has been carried out up to third order. The main novelty and contribution of this part is the understanding of the link of nonlinear acoustic parameter beta and that connect with Hamilton's theories, in opposite to Rushchitsky who applied a relationship based on an Taylor extension without invariants.
Also, note that large strains have been taken into account in order to obtain a realistic expression of these nonlinear constitutive parameters following the path of Goldberg, Zarembo, Muir, and Stobbe. The works of Abelee, Johnson, Muller and Giordano, have been detailed previously and the differences between resides on the mechanical parameters restrictions used due to the nature of the material or tissue. Many authors such as Desdrade and Odgen, have stablished a similar definition of nonlinear acoustic parameter beta based on several different invariants but the relationship that they obtained is different to the one given by Hamilton.
Nonlinear classical acoustics:
To unify nonlinear classical acoustic theories to exploring the relationship between this parameters an mechanical ones and extend this to other possible scenarios exploring its physical meaning. A new approach to understand nonlinear acoustics and nonlinear elasticity parameters and their relationship. This connect with the definition developed by Gol'dberg, Zarembo and Hamilton, with the novelty of a new development and extension based on invariants, even so, for anisotropy environment and large strains. The nonlinear sources involved in this formulation are derived from: (1) Constitutive nonlinearity, (2) geometric nonlinearity starting from compatibility equation and (3) geometric nonlinearity beginning with stress of Cauchy definition.
The Westervelt nonlinear acoustics equations are also described by making use of the B/A parameter in fluids, under a Taylor expansion of the pressure. Is important to consider these equations as a particular case of nonlinear acoustics in liquids. The general nonlinear elasticity, nonlinear wave equation and their relationship are the main theories that allow the development of this research. Also, the role of small and large displacements are clearly important if we take into account the nonlinear effects on harmonic generation, where the cross term is significant. Note that attenuation has not been included at the moment due to is not necessary for our first assumptions. It will be a future work. The Westervelt equation has recently used in the field of medical ultrasound for tissues and fluids, as was mentioned in previous sections. These allow us to consider future applications in this field i. e. correlating these nonlinear parameters with tissue characterization or even with different pathologies in tissue.
Nonlinear classical acoustics: Fluid and matrix phases:
A new approach is carried out in the field of nonlinear acoustics when non unique beta constants considered. This part explores and analyzes from a physical and mathematics point of view this possibility and a new theory is exposed. The results are detailed and the whole parameters are deducted from the interaction of P and S-waves. The perturbation theory is the methodology whose development provides a solution. The nature of this multiple nonlinearity suggest the physical meaning of these variables.In this part new techniques are provided to validate and measure them experimentally.
Under this objetive three sources of nonlinearity are exposed as an new approach that never have been explored: (1) Nonlinearity from compatibility cross term or geometric nonlinearity, (2) nonlinearity coming from the derivation of strain energy function and (3) nonlinear constitutive source.
Exploration of microdamage in solids:
A nonlinear micro-mechanical approach is proposed, that relates a distribution of clapping micro-cracks in damaged materials with the macroscopic measurable acoustic nonlinearity in solids. A 1D contact clapping mechanism inside each micro-crack is hypothesized to be responsible for a component of the quadratic nonlinearity. This relationship is formulated by establishing a bilinear clapping constitutive law, which is further approximated by a Taylor expansion, from which the second order constitutive nonlinearity stems. The simplifying assumption to restrict the effect to second order nonlinearity is of course questionable in terms of fully capturing the dynamics of a clapping crack, and even needs extension in a future work. However, there are practical reasons for solving the case of second order components, which is the generation of second harmonics, which are measurable with ultrasonic equipment and could be potentially used to inspecting the structural functionality and damage. It should be clarified that other possible sources of nonlinearity are not treated in this work, such as hysteretic clapping, crack tip plastic zone, partial closure, or atomistic nonlinearities. Their formulations therefore remain for future work.
The distributed micro-cracks are treated as individual penny-shaped inclusions, embedded into a macroscopic medium through Eshelby's homogenization theory through a nonlinear Mori-Tanaka scheme. The assumption that penny-shaped inclusions are aligned is justified by the fact that fatigue cracks produced by a preferentially-oriented stress appear to be aligned. However, the case of randomly oriented micro-cracks remains to be solved in a future work.
The relationships between the measurable acoustic nonlinearity and the Landau-type nonlinearity definition required by the homogenization are also proposed. For this purpose, the proposed decomposition of stress and strain tensor into compressional and deviatoric parts plays a key role in redefining several possible acoustic nonlinearities in a convenient way.
There is a future work in progress on measuring the nonlinear cracks under an experimental configuration. The control of effective nonlinearity may have be a great impact in the quantification of bone microcracks directly correlated with osseous quality and osteoporosis.
Nonlinear mixing To measure experimentally the new parameters two main techniques have been carried out: (1) Based on a two waves mixing, and (2) based on the torsional transducer that has been mentioned below. Then, two waves mixing interaction have been measured in an immersion tank by collinear and nonlinear mixing procedure. For collinear mixing case, just one transducer and two waves are studied with a T-junction, this provides a nonlinear parameter of water that coincides with the literature values. So, a variation of the collinear wave mixing method was investigated to determine the acoustic nonlinear parameter beta in water. Perturbation solutions of beta parameter in water were analytically calculated and validated with experimental measurements, for each 2fa, 2fb, fa+fb. A nonlinearity beta value of 3.5 approximately was obtained, which is consistent with the literature references. However, in the case of the difference harmonic, fa-fb, contradictory results were obtained, suggesting that the amplitude of this harmonic is not related to the nonlinearity parameter beta.
In the case of non collinear mixing, this measurements are made from different samples of aluminum with special geometries. This allow integrate the interaction volume of waves inside the sample and validate the Korneev theory introducing the desired angles with a correction given by Zoeppritz. A posible limitation to this technique is the absolute value of FFT Fast Fourier Transform, it occurs when frequency spectrum is calculated by harmonic generation procedure. This explains the ambiguity of the sign phase that has repercussion in the quantification of the nonlinear acoustic parameters.
This technique provides at the first time one method to derive TOEC with ultrasound different of DAET deducting an explanation of nonlinearity from physical point of view.
Soft tissue nonlinearities An optimal piezoelectric transducer design was carried out by combining a piezoelectric finite element model and a robust analytical estimate of the probability of detection, called RPOD. This allows to estimate the minimum pathology findable given a proposed sensor design, a layered tissue geometry and noise level on measurements. After validation, the RPOD is used as an optimality criterion to feed the used genetic algorithms. An analytical simplified model is formulated and validated with the finite element model, which is aimed at easily predict trends and design parameter dependencies.
The design has the ability to clearly separate P and S wave depending on the frequency and the time when the wave arrives at the receiver. Also, note that the simplified analytical model predicts the frequency response of the sensor with less than 1% error, which is considered validated finite element model. S-waves were only reproduced with 3200 [ns], flittering-out P waves numerically. Even so, amplitude is not predicted by the simplified model, only central frequency and attenuation effects are not considered in the simplified model. The optimization improves 172 times the design. However, after application of the probability of detection of pathologies in the tissue there are several local minima therefore requires a global search algorithm such as genetic algorithms.
A set of sensitivity tests was performed to validate the robustness of the analytical estimates and verify the feasibility, sensitivity and specificity of the designed transducer by the algorithms above. The piezoelectric sensor was eventually manufactured based on the resulting design parameters at Non Destructive Evaluation Laboratory of the University of Granada by the END lab team.
Being a relevant approach the design and fabrication of a torsional transducer with several applications in the field of tissue mechanics, the experimental methodology to extract nonlinear shear wave has been rigorously analyzed. It must mention that the linear measurements of shear modulus on cervical tissue are relevant in the problem of preterm birth assessment it is an line of research of the END lab where this prototype is involved.
The nonlinear classical acoustics extension has been applied in the Chapter \ref{IX}, extracting a solution that separates the nonlinear terms that are interpreted as nonlinearity from the matrix and the nonlinearity from the fibers. This is an important conclusion with a main novelty in tissue microstructure. The results suggest that these nonlinear terms that from now can be obtained at real time describe the behavior of the tissue in a new scale. This has triggered an ongoing work with potential impacts on biomedical research and understanding the mechanics of quasifluids and tissues.
Resumen en Castellano:
El estudio de los tejidos desde el punto de vista mecánico proporciona una herramienta tanto para entender y conocer su estructura como su comportamiento a distintas escalas. La teorías lineales basadas en el principio de superposición o el efecto como suma de las causas, son una aproximación que queda exenta de sentido a nivel micromecánico. Las teorías nolineales generalizan este concepto donde el efecto no tiene porque ser solo suma de las causas, es decir el principio de superposición no es completo y explican la fenomenología de los procesos en contextos más precisos.
La Nolinelalidad Ultrasónica NL US en concreto depende de constantes elásticas e inelásticas diferentes al Módulo de Young o Elástico, y Coeficiente de Poisson, que pueden ser mucho más sensibles a daño y propiedades hiperelásticas de tejidos que, los parámetros anteriormente expuestos porque dependen de su microestructura.
Varios investigadores visionarios desde los años 70 como Zarembo y Gol'dberg, observaron experimentalmente nolinealidades acústicas mediante métodos de amplitud finita. Independientemente, se plantearon modelos teóricos como es el caso de la Ecuación en derivadas parciales nolineal PDE de Westervelt, Khokhlov, Zabolotskaya y Kuznetsov, KZK con procesos de resolución analíticos basados en la teoría de la perturbación. El avance en la ciencia viene sujeto a la aplicación o unificación de grandes teorías poniéndonos a hombros de gigantes. A lo largo de la historia, existen disparidad de criterios para unificar las constantes elásticas de tercer orden. El libro de Teoría de la Elasticidad de Landau y Lifshitz en 1957 [1] es el primer lugar donde se plantean las Constantes Elásticas de Tercer orden conocidas hoy en día como TOEC, en un ejercicio o problema práctico propuesto, a raíz del desarrollo en serie de la ley de hooke a partir de la energía. Dese entonces es posible encontrar numerosas referencias y diferentes criterios para englobar las constantes de la elasticidad nolineal con su correspondiente conversión.
Al tratar de sistematizar lo anteriormente expuesto, hemos observado múltiples inconsistencias, y contradicciones. Por ejemplo, a raíz de explorar un criterio razonable para vincular la nolinealidad elástica con la nolinealidad acústica, existen diferentes definiciones del conocido parámetro beta, diferentes parámetros elásticos de tercer orden, ecuaciones de Westervelt, Burgers y KZK que valen solo en el caso de fluidos, sólidos, etc. que además sugieren distintas soluciones.
Por lo tanto es importante desarrollar una teoría generalizada, consistente desde el punto de vista (1) matemático, (2) de la teoría de medios continuos, y (3) de la física de la propagación de ondas y (4) de la ingeniería experimental, que unifique todos los desarrollos anteriores.
Matemático: Partiendo de un marco consistente en el sentido de los desarrollos en serie de la energía bien analizados cuyos invariantes frente a rotaciones y traslaciones estén explícitamente analizados y desarrollados y cuya notación indicial y vectorial facilite de forma clara y unívoca su expresión. En este punto las familias de ecuaciones en derivadas parciales nolineales deben quedar muy bien clasificadas de cara a establecer procedimientos óptimos en la relación entre Elasticidad y Acústica.
Medios continuos: Comenzando con la teoría sin simplificaciones en un contexto lo más general posible sin pequeños desplazamientos, definiendo correctamente todos los conceptos de tensión, tensor de Piola-Kirchoff, tensor de deformaciones, gradiente de deformación energía, etc...
Física de ondas: Teoría de la perturbación como método recursivo iterativo en la ecuación de ondas nolineal, definición de nolinealidad desde la presión acústica coincidiendo con la que interviene en la ecuación de Westervelt, generalización a múltiples armónicos, etc.
Ingeniería experimental: Cuantificación de diversos armónicos desde el punto de vista realista a partir de la presión acústica que medimos con osciloscopios, en diferentes configuraciones vía generación de armónicos, mezcla de ondas ultrasónicas, diferentes tipos de ondas, P, S, y su combinación, etc.
A lo largo del desarrollo de esta Tesis, hace un desarrollo unificado de las teorías de nonlinealidad elástica basadas en la mecánica de medios continuos clásica. Se establece una relación con la nolinealidad acústica clásica desde una nueva perspectiva que valida los resultados de Hamilton y Norris en su libro Nonlinear Acoustics [3] Dicho análisis nos lleva a unificar y desglosar criterios de definición del parametro $\beta$ previamente mencionado, a desarrollar una ecuación generalizada de Westevelt para armónicos de cualquier orden y a establecer una nueva teoría de nolinealidad acústica expandiendo en cuatro tipologías de nolinealidad, es debido a la contribución de la fase líquida y la fase de fibra o colágeno, en el caso de quasifluidos o tejidos, respectivamente. El impacto potencial de esta técnica supone un nuevo aporte en la caracterización tisular cuyas aplicaciones clínicas se deben a la separación de fases nolineales que revelan sus principales mecanismos, lo cual es especialmente relevante desde el punto de vista diagnóstico y terapéutico de muchos trastornos en el tejido.
Al tratar de explicar experimentalmente los distintos resultados que surgen como consecuencia de esta teoría, se desarrollan varios ensayos en distintos materiales, utilizando técnicas de evaluación no destructiva. Mezcla no lineal con un solo transductor para medir la nolinealidad del agua, mezcla con dos para caracterizar aluminio y el diseño y optimización de un nuevo sensor de torsión para caracterizar hidrogeles, siliconas y tejidos.
Además en esta Tesis se plantea una posible explicación sobre como se origina la nolinealidad por daño a partir de microgrietas. Para ello se recurre a la teoría de homogeneización desarrollada por Eshelby en 1956 [3], y se resuelve el caso de un material con inclusiones con forma geométrica de esferoides. Cabe destacar que el esquema teórico y experimental propuesto podría ser relevante en el desarrollo de nuevos dispositivos médicos para la evaluación de la calidad ósea y el diagnóstico de la osteoporosis.
El análisis de la no linealidad desde un punto de vista de la Teoría de la Elasticidad y de la propagación de ondas ultrasónicas ha sido estudiado desde el principio de la segunda mitad del siglo XX. Hoy en día, establecer un vínculo consistente la relación entre estos dos campos conlleva un reto debido su aplicación directa en la investigación biomédica. Esta tesis (1) proporciona un profundo conocimiento sobre los mecanismos que unifican la no linealidad clásica ultrasónica y la no linealidad elástica de acuerdo a las diversas fuentes examinadas, (2) genera un aporte nuevo extendiendo la ecuación de ondas no lineal lo cual representa una separación en términos de fluido y matriz, diferenciando la no linealidad en fases debidas a la naturaleza del material o tejido, (3) sugiere una posible explicación de la no lineadad a partir del microdaño y (4) explora la posibilidad e realizar mediciones de los parámetros no lineales mediante tres experimentos nuevos y diseñando y construyendo dispositvos para este fin.
Conclusiones:
Unificación de la no linealidad elástica A través de la unificación de las TOEC Constantes Elásticas de Tercer Orden y su derivación por invariantes en el régimen de la elasticidad nolineal, se establece una relación con la no linealidad elástica hasta cuarto orden y acústica hasta tercer orden. Esto permite formular la ecuación constitutiva in términos tanto de isotropia como de anisotropia. La principal contribución en los capítulos 4 y 5 es el entendimiento del vínculo entre el parámetro de acústica nolineal clásica beta y su conexión con las teorías de Hamilton, al contrario que las teorías de Rushchitsky donde se aplican esta relación a partir de un desarrollo en serie de Taylor sin invariantes.
Además, las grandes deformaciones en la ecuación de compatibilidad se tienen en cuenta para obtener una expresión realista de estos parámetros constitutivos nolineales siguiento el camino de Gol'dberg, Zarembo, Muir y Stobbe. Los trabajos de Abelee Abelee, Johnson, Muller y Giordano, se analizan con detalle encontrando que la principal diferencia con respecto a la teoría desarrollada reside en las restricciones debidas al tipo de material o tejido. Algunos autores como Desdrade y Odgen, han establecido una definición muy similar a la desarrollada en esta tesis haciendo especial hincapié en el vínculo con la no linealidad acústica a partir de invariantes algebraicos válidos, pero sin encontrar un contexto consistente que apoye y valide las teorías de Hamilton.
No linealidad acústica clásica:
Para extrapolar a valores reales estos resultados analíticos, se han extraído resultados numéricos a partir de algunas referencias encontradas. En el capítulo 5 se calcula el valor del parámetro nolineal acústico Beta en función de las Constantes Acústicas de Tercer Orden de Landau y varía entre [-0.51, 8.54] para el caso de los metales, entre [-6.63, -1.88] para cristales, entre [3.5, 6.2] para líquidos, y entre [-3.96, -1.15] para el caso de tejidos biológicos. En el caso de fibra de carbono CRFP y PMMA, estos valores fueron simulados computacionalmente para poder obtener una posible visión de estos parámetros transversalmente isótropos en los distintos supuestos físicos que se detallan en el capítulo 5.
Una vez terminado el capítulo 5 se puede remarcar que el nuevo aporte llevado a cabo en el entendimiento de la no linealidad acústica y la no linealidad elástica proporciona una relación entre sus parámetros de forma consistente. Esto conecta con la definición desarrollada por Gol'dberg, Zarembo y Hamilton, con la novedad de un nuevo desarrollo basado en invariantes de energía y especificamente en la forma que estos se obtienen a través de las ideas de Landau, incluso para casos anisótropos y en grandes deformaciones.
Las ecuaciones de Westervelt se describen en el capítulo 5 haciendo uso del parámetro de no linealidad B/A en fluidos desde una expansión en serie de Taylor de la presión. Es importante considerar estas ecuaciones como un caso particular de no linealidad acústica en líquidos. Tanto la teoría general de la elasticidad como la ecuación no lineal de ondas permiten investigar el vínculo entre ambas en este contexto, donde el rol de los pequeños y grandes desplazamientos son muy relevantes ya que si tenemos en cuenta los efectos de la generación de armónicos el término cruzado en la ecuación de compatibilidad es muy significativo. Hay que tener en cuenta que los términos relativos a la atenuación no han sido tomados en cuenta, ya que no son necesarios en una primera etapa, pero en futuros trabajos serán analizados.
La ecuación de Westervelt se viene usando en el ámbito clínico modelizando dispositivos médicos con ultrasonidos con aplicación en tejidos como se mencionó en la introducción y en capítulos previos. Esto nos permite estimar que el estudio de su extensión e incluso de la ecuación KZK donde aparece un término más podría tener considerables aplicaciones futuras, por ejemplo correlacionando parámetros de no linealidad con la caracterización de tejidos tanto blandos como óseos e incluso ser una clave en el diagnóstico de distintas patologías.
No linealidad clásica en acústica: Fases de fluido y matriz en cuasifluidos y tejidos.
Si en el contexto de no linealidad acústica clásica consideramos que el parámetro beta no es único, esto conlleva un nuevo aporte extendiendo y reescribiendo toda esta teoría. El capítulo 4 explora y analiza desde un punto de vista físico y matemático esta posibilidad y expone una nueva teoría basada en este supuesto. Los resultados están detallados en el capítulo 4 donde todos los parámetros no lineales resultantes se deducen a partir de la interacción de ondas S y P. La teoría de la perturbación es la metodología encargada de hacer factible las soluciones analíticas del modelo en 3D. La naturaleza de este tipo de no linealidad clásica múltiple inspirador en el sentido de encontrar un significado físico a estos términos. El siguiente paso es encontrar y diseñar nuevas técnicas experimentales donde se validen los resultados conseguidos, cuya repercusión sería muy relevante.
Bajo este objetivo subyace un nuevo aporte donde se exponen tres fuentes de nolinealidad que nunca se han explorado conjuntamente: (1) La no linealidad de la ecuación de compatibilidad a través de su término cruzado o no linealidad geométrica, (2) la fuente de no linealidad que surge tras la derivación de la energía de deformación y (3) la fuente de no linealidad constitutiva.
Exploración del microdaño en sólidos En el capítulo 7 se propone un nuevo aporte no lineal micromecánico relativo a la distribución de micro grietas de tipo clapping en materiales sólidos dañados en los que se pueda medir su parámetro de no linealidad acústica de forma macroscópica.
Bajo la hipótesis de un mecanismo tipo clapping por contacto 1D cada microgrieta es responsable de un componente de la no linealidad cuadrática. Esta relación se establece para formular un clapping bilineal en la ley constitutiva que se aproxima por una expansión de Taylor desde a partir del sistema constitutivo original. La hipótesis simplificada de restringir el efecto al segundo orden de no linealidad es por supuesto cuestionable en lo referente a la captura completa de la grietas tipo clapping de forma dinámica, e incluso necesitaría una extensión en trabajos futuros. Sin embargo, existen razones prácticas para resolver el caso de las componentes de segundo orden, su importancia reside en la generación de armónicos de segundo orden, cuya medida a través de equipos ultrasónicos podría usarse potencialmente para la inspección de funcionamientos estructurales y daño. Debe clarificarse que existen otros posibles orígenes de no linealidad que no se tratan en este capítulo, tales como el clapping por histéresis, grietas en zona de plasticidad, daño de tipo cierre parcial o nolinealidad atómicas. Por lo tanto, dichas formulaciones se continuarán en futuros trabajos. Cabe destacar que la distrubución de microgrietas, se tratan como inclusiones de tipo penny-shaped siendo formuladas en el apéndice 1, embebidas en un medio macroscópico donde se utiliza la teoría de homogenización de Eshelby a través de un esquema de Mori-Tanaka pero en el caso no lineal. La hipótesis de que las inclusiones tipo penny-shaped están alineadas está justificada por el hecho de que las la aparición de grietas preferentemente orientadas y alineadas en una dirección son debidas a fatiga dada una tensión. Aún así podría darse el caso de que aparecieran microgrietas aleatoriamente orientadas lo cual debería resolver en adelante durante futuros estudios.
La relación entre no linealidad acústica medible y la definición de no linealidad de tipo Landau es una propuesta requerida para utilizar la teoría de homogeneización en el capítulo 7. Con este propósito, la descomposición de la tensión en parte volumétrica y deviatoria, juega un papel clave en la redefinición de varias no linealidades acústicas de una forma conveniente.
Hay un futuro trabajo en este ámbito que se está llevando acabo tratando de medir las grietas no lineales cuya configuración experimental se menciona en el capítulo 7. El control de la no linealidad acústica efectiva u homogeneizada puede tener un gran impacto en la cuantificación de microgrietas óseas directamente correlacionadas con la calidad de los huesos y por tanto con enfermedades como la osteoporosis.
No linealidad por mezcla de ondas Para medir experimentalmente estos nuevos parámetros, se han llevado a cabo dos técnicas principalmente: (1) Una basada en en la generación de dos ondas mezcladas, y (2) la otra en un sensor que emite ondas de torsión cuyo diseño se ha mencionado previamente. Entonces, en el caso de la interacción de dos ondas tanto P como S, el procedimiento para medir ha sido en una cuba de inmersión tanto para una emisión superpuesta a través de un transductor y dos ondas P generadas a distinta frecuencia es decir colineal como para la mezcla a un cierto ángulo es decir no colineal. En el supuesto experimental de mezcla colineal las ondas se realiza a través de una unión tipo T, y el resultado es la generación del no linealidad acústica en agua calculado a partir del método de generación de armónicos que coincide con los valores dados en las referencias con un valor aproximado de 3.5. Por lo tanto a través de esta metodología experimental se investiga el cálculo del parámetro de no linealidad beta en agua que además, se calculan analíticamente desde la metodología de la teoría de la perturbación tanto en el caso clásico a partir de las teorías de Hamilton, como a través del capítulo de la extensión de no linealidad clásica desglosándolo en los distintos tipos de betas. La validación es calculada para cada, 2fa, 2fb y fa+fb. Sin embargo, en el caso de la diferencia de armónicos debido a la diferencia de frecuencias de entrada, fa-fb, los resultados que se obtienen son contradictorios ya que sugieren que la amplitud de este armónico no está relacionada con el parámetro de no linealidad beta.
En el caso de mezcla no colineal, estas medidas no pueden realizarse en agua, supuesto que viene sugerido por los estudios de Korneev, así que se han utilizado una serie de muestras de aluminio construidas y cortadas con una geometría especial para realizar las mediciones experimentales. Esto permite tanto integrar el volumen de interacción de las ondas dentro de al muestra y validar la teoría de Korneev 2014 introduciendo los ángulos de entrada y salida de las ondas, algo que hasta el momento no se ha sido posible con esta técnica. Una posible limitación en este aspecto podría ser el valor absoluto del valor de los armónicos tras calcular la FFT Transformada Rápida de Fourier, esto ocurre cuando se analiza el espectro de frecuencias a través del procedimiento de generación de armónicos. Lo cual explica la ambigüedad de signo en la fase y que repercute en el cálculo directo de la cuantificación de los parámetros acústicos no lineales.
Esta técnica proporciona por primera vez un método para derivar las TOEC con ultrasonidos distinta a la basada en DAET acustoelasticidad dinámica, proporcionando además una explicación desde un punto de físico.
No linealidad en tejido blando Se ha diseñado un transductor piezoeléctrico óptimo combinando el uso del modelo de elementos finitos y una estimación robusta de la probabilidad de detección RPOD como criterio de optimización del mismo en el capítulo 9. Esto permite estimar la mínima patología que se pueda encontrar dado un diseño de sensor propuesto dadas una geometría de capas de tejido y un nivel de ruido en las medidas. Después de validarlo, la RPOD se usa como criterio de diseño óptimo sujeto al uso de algoritmos genéticos. Un modelos analítico simplificado se formula y valida con el uso de elementos finitos con el objetivo de predecir y diseñar fácilmente dependencias y tendencias en los parámetros utilizados.
El diseño tiene la capacidad de separar las ondas P y S dependiendo de la frecuencia y el tiempo en el que llegan al receptor. Además, hay que tener en cuenta que el modelo analítico simplificado predice la frecuencia de respuesta del sensor con menos de un 1% de error, con lo que se considera validado el modelo de elementos finitos. Las ondas S solo se reproducen numéricamente en 3200 [ns], a diferencia de las ondas P. Incluso así, la amplitud no se puede predecir con el modelo analítico simplificado, puesto que solo se consideran la frecuencia central, el efecto de la atenuación tampoco se tiene en cuenta. Cabe resaltar que la optimización mejora el diseño 172 veces. Sin embargo, después de aplicar la probabilidad de detección de patologías en tejido existen varios mínimos locales que requiere una búsqueda global a través de algoritmos genéticos, Se llevaron a cabo un conjunto de ensayos y análisis de sensibilidad para validar la robustez de la estimación analítica y verificar la fiabilidad y especificaciones del diseño del transductor mediante los algoritmos detallados en el capítulo 9. El sensor piezoeléctrico se manufacturó por primera vez en el laboratorio de Evaluación No Destructiva en la universidad de Granada en 2013.
El diseño y fabricación de un sensor de torsión con multitud de aplicaciones en la mecánica tisular, es un aporte muy relevante, así que la metodología experimental para extraer nuevos parámetros tanto mecánicos como acústicos ha sido analizada de forma rigurosa. Se debe mencionar que las medidas lineales del módulo de cizalla en tejido cervical conllevarán un logro aportando un pronóstico y correlacionándolo el diagnóstico de parto prematuro (una de la mayores causas de mortalidad infantil), mediante técnicas estadísticas. Lo cual es una linea de investigación actual donde está involucrado el diseño de este prototipo.
La extensión de la no linealidad acústica clásica ha sido aplicada en el capítulo 9, extrayendo una solución que separa los términos no lineales que se puede interpretar de la matriz y los generados por las fibras. Esta conclusión representa un aporte muy novedoso en el entendimiento de la microestructura tisular. Los resultados sugieren además, que estos términos no lineales podrían medirse a tiempo real describiendo procesos evolutivos en una nueva escala. Esta línea representará un trabajo futuro cuyo impacto repercutirá en el campo biomédico y en la evaluación de las propiedades mecánicas de los quasifluidos.
Bibliografía Básica:
[1] L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Theory of Elasticity. Pergamon, Oxford, USA, 1986.
[2] MarkFHamilton,DavidTBlackstock,etal.Nonlinearacoustics,volume237. Academic press San Diego, 1998.
[3] J.D. Eshelby. The continuum theory of lattice defects. In E. Seitz and D. Turnbull, editors, Progress in Solid State Physics. Academic Press, 1956.
[4] K.E.A. Van Den Abeele, P.A. Johnson, and A. Sutin. News techniques to discern material damage, part i: Nwms (nonlinear wave modulation spectroscopy). Research in Nondestructive Evaluation, 12:17–30, 2000.
[5] L.K. Zarembo and V.A. Krasil’Nikov. Nonlinear phenomena in the propagation of elastic waves in solids. Physics-Uspekhi, 13(6):778–797, 1971.
[6] Dave D Muir. One-sided ultrasonic determination of third order elastic constants using angle-beam acoustoelasticity measurements. Dissertation, Georgia Institute of Technology, May 2009.
[7] Francis A. Duck. Physical properties of tissues: a comprehensive reference book. Academic press, 2013.
[8] Gerhard A Holzapfel. Nonlinear solid mechanics, volume 24. Wiley Chichester, 2000.
[9] Gerhard A Holzapfel, T Christian Gasser, and M Stadler. A structural model for the viscoelastic behavior of arterial walls: continuum formulation and finite element analysis. European Journal of Mechanics- A/Solids, 21(3):441–463, 2002.
[10]GerhardAHolzapfel,ThomasCGasser,andRayWOgden.Anewconstitutiv eframework for arterial wall mechanics and a comparative study of material models. Journal of elasticity and the physical science of solids, 61(1-3):1–48, 2000.
[11] Gerhard A Holzapfel and Juan C Simo. A new viscoelastic constitutive model for continuous media at finite thermomechanical changes. International Journal of Solids and Structures, 33(20):3019–3034, 1996.
[12] F.D. Murnaghan. Finite deformation of an elastic solid, 1951. Chapman & Hall, London, 1951.
[13] Do S Hughes and JL Kelly. Second-order elastic deformation of solids. Physical review, 92(5):1145, 1953.
[14] ZA Gol’dberg. Interaction of plane longitudinal and transverse elastic waves. Sov. Phys. Acoust, 6:306–310, 1961. 203 [15] RN Thurston and K Brugger. Third-order elastic constants and the velocity of small amplitude elastic waves in homogeneously stressed media. Physical Review, 133(6A):A1604, 1964.
[16] G Douglas Meegan Jr, Paul A Johnson, Robert A Guyer, and Katherine R McCall. Ob- servations of nonlinear elastic wave behavior in sandstone. The Journal of the Acoustical Society of America, 94(6):3387–3391, 1993.
[17] E Koen and A Van Den Abeele. Elastic pulsed wave propagation in media with second-or higher-order nonlinearity. part i. theoretical framework. The Journal of the Acoustical Society of America, 99(6):3334– 3345, 1996.
[18] James A TenCate, Koen EA Van Den Abeele, Thomas J Shankland, and Paul A John- son. Laboratory study of linear and nonlinear elastic pulse propagation in sandstone. The Journal of the Acoustical Society of America, 100(3):1383–1391, 1996.
[19] KR McCall and RA Guyer. A new theoretical paradigm to describe hysteresis, dis- crete memory and nonlinear elastic wave propagation in rock. Nonlinear processes in geophysics, 3(2):89–101, 1930.
[20] V Gusev, Christ Glorieux, Walter Lauriks, and Jan Thoen. Nonlinear bulk and sur- face shear acoustic waves in materials with hysteresis and end-point memory. Physics Letters A, 232(1):77–86, 1997.
[21] Veniamin E Nazarov, Lev A Ostrovsky, Irina A Soustova, and Aleksandr M Sutin. Nonlinear acoustics of micro-inhomogeneous media. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 50(1):65–73, 1988.
[22] Igor Yu Solodov. Ultrasonics of non-linear contacts: propagation, reflection and nde- applications. Ultrasonics, 36(1):383–390, 1998.
[23]RAGuyer,KRMcCall,andKoenVanDenAbeele.Slowelasticdynamicsinare sonant bar of rock. Geophysical research letters, 25(10):1585–1588, 1998.
[24] CD Bertram, F Pythoud, N Stergiopulos, and J-J Meister. Pulse wave attenuation mea- surement by linear and nonlinear methods in nonlinearly elastic tubes. Medical engi- neering & physics, 21(3):155–166, 1999.
