Resumen de Some results on locally finite groups

Francesca Spagnuolo

• español

  En esta tesis se presentan algunos resultados sobre p-nilpotencia y permutabilidad en grupos localmente finitos. Está estructurada en cinco capítulos. El primer capítulo, que tiene carácter introductorio: contiene definiciones y resultados conocidos que serán utilizados en los capítulos sucesivos. Por tratarse de resultados ya conocidos, se introducen con referencias y sin demostraciones.

  En el capítulo 2 se trata la p-nilpotencia en grupos hiperfinitos, donde p es un primo. Los resultados presentados se encuentran publicados en el siguiente artículo:

  Ballester-Bolinches, A.; Camp-Mora, S.; Spagnuolo, F., "On p-nilpotency of hyperfinite groups". Monatshefte f¨ur Mathematik, 176, no. 4, 497–502, 2015.

  Un grupo se dice p-nilpotente si tiene un p-subgrupo de Hall normal. En el caso de grupos finitos, se tiene que un grupo es p-nilpotente si y solo si todo p-subgrupo de Sylow tiene un p-complemento normal. En este capítulo se estudian propiedades de los p-subgrupos de Sylow de un grupo que garanticen que el grupo es p-nilpotente si y solo si el normalizador de un p-subgrupo de Sylow es p-nilpotente. Por ejemplo, un resultado clásico de Burnside establece que un grupo finito con p-subgrupos de Sylow abelianos es p-nilpotente si y solo si el normalizador de un p-subgrupo de Sylow es p-nilpotente. Para ello, se define la propiedad de determinación local de p-nilpotencia: una clase de p-grupos X determina la p-nilpotencia localmente si todo grupo finito G con un p-subgrupo de Sylow P en la clase X es p-nilpotente si y solo si el normalizador de P en G es p-nilpotente. Los resultados principales del capítulo 2 extienden varios resultados conocidos sobre p-nilpotencia de grupos finitos. Se prueba que:

  - Si X es una clase de p-grupos cerrada para subgrupos e imágenes epimorfas que determina la p-nilpotencia localmente y G es un grupo hiperfinito con un p-subgrupo de Sylow pronormal P en la clase X, entonces G es p-nilpotente si y solo si el normalizador de P en G es p-nilpotente.

  - Si X es una clase de p-grupos cerrada para subgrupos que determina la p-nilpotencia localmente y G es un grupo hiperfinito localmente p-resoluble con un p-subgrupo de Sylow P en la clase X, entonces G es p-nilpotente si y solo si el normalizador de P en G es p-nilpotente.

  En los capítulos 3 y 4 se estudian grupos de rango infinito en los que el comportamiento de los subgrupos de rango infinito respecto a cierta propiedad determina la estructura del grupo. Los resultados de estos capítulos aparecen en el artículo:

  Ballester-Bolinches, A.; Camp-Mora, S.; Kurdachenko, L.A.; Spagnuolo, F., "On groups whose subgroups of infinite rank are Sylow permutable". Annali di Matematica Pura ed Applicata (4), 195, no. 3, 717–723, 2016, y en el trabajo:

  Ballester-Bolinches, A.; Camp-Mora, S.; Dixon, M.R.; Ialenti, R.; Spagnuolo, F., "On locally finite groups whose subroups of infinite rank have some permutable property", aceptado en Annali di Matematica Pura ed Applicata.

  Recordemos que un grupo G tiene rango finito e igual a r si los subgrupos finitamente generados de G están generados por como máximo r elementos y r es el menor entero con tal propiedad. Si no existe un tal r, se dice que G tiene rango infinito. Se dice que G tiene p-rango de sección finito e igual a r si toda sección p-elemental abeliana de G es finita y tiene orden como máximo p^r y hay una sección p-elemental abeliana con orden exactamente p^r. Igualmente, si no existe un tal r, se dice que G tiene p-rango de sección infinito.

  Las propiedades de los subgrupos de rango infinito que se consideran son la permutabilidad y algunas generalizaciones de la permutabilidad. En particular, en el capítulo 3 los principales resultados obtenidos se refieren a las propiedades de permutabilidad y permutabilidad con los subgrupos de Sylow. Se prueban los siguientes resultados:

  - Si en un grupo G hiper-(abeliano o finito) con p-rango de sección infinito todo subgrupo con p-rango de sección infinito es S-permutable, entonces G es localmente nilpotente.

  - Si en un grupo G localmente finito con rango infinito todo subgrupo de rango infinito es S-permutable, entonces G es localmente nilpotente.

  - Si en un grupo G localmente finito con p-rango de sección infinito todo subgrupo con p-rango de sección infinito es permutable, entonces G es un grupo de Iwasawa.

  Como consecuencia de los resultados principales se recuperan algunos resultados ya conocidos.

  En el capítulo 4 se consideran las propiedades de semipermutabilidad y S- semipermutabilidad. Se prueban los siguientes resultados:

  - En los grupos localmente finitos con p-rango de sección infinito cuyos subgrupos con p-rango de sección infinitos son semipermutables, todos los subgrupos son semipermutables.

  - Para la S-semipermutabilidad, se prueba que en un grupo localmente finito con condición minimal sobre los p-subgrupos para todos los primos p, si todos los subgrupos de rango infinito son S-semipermutables, entonces todos los subgrupos son S-semipermutables.

  Se presenta un contraejemplo que muestra que en el último resultado no se puede eliminar la hipótesis de que el grupo tenga la condición minimal sobre los p-subgrupos para todo primo p.

  En el capítulo 5 se consideran únicamente grupos finitos y se estudia la inmersión de los subgrupos semimodulares de orden impar en un grupo finito. Un grupo se dice semimodular si todos sus subgrupos son semipermutables. Los resultados forman parte del siguiente trabajo, que ha sido enviado para su posible publicación en una revista científica:

  Ballester-Bolinches, A.; Heineken, H.; Spagnuolo, F., "On semipermutable subgroups of finite groups", enviado.

  Algunos de los resultados de este capítulo son los siguientes:

  - Un grupo finito que es producto de un subgrupo normal superresoluble y de un subgrupo subnormal semimodular es superresoluble.

  - Si un grupo finito G tiene un subgrupo normal N superresoluble y un subgrupo S subnormal semimodular de orden impar, entonces el producto NS^G es superresoluble.

  Una consecuencia interesante del último resultado es que la clausura normal de un subgrupo subnormal semimodular de orden impar es superresoluble.

• English

  The main goal of this thesis is to present some results on p-nilpotency and permutability in locally finite groups. It is organised in five chapters. Well known definitions and results which are widely used in the thesis are collected in the first chapter. They are stated with suitable references. No proofs are included.

  Chapter two is devoted to the study of p-nilpotency of hyperfinite groups, p a prime. The results are published in the paper:

  Ballester-Bolinches, A.; Camp-Mora, S.; Spagnuolo, F., "On p-nilpotency of hyperfinite groups". Monatshefte f¨ur Mathematik, 176, no. 4, 497-502, 2015.

  A group is p-nilpotent if it has a normal Hall p0-subgroup. In finite groups, a group is p-nilpotent if and only if every Sylow p-subgroup has a normal p-complement. In this chapter we study which properties of the Sylow p-subgroups determine the p-nilpotency of the group by the p-nilpotency of their normalisers. For example, a classical result of Burnside states that a finite group G with an abelian Sylow p-subgroup P is p-nilpotent if and only if the normalizer of P in G is p-nilpotent. A class of p-groups X determines p- nilpotency locally if every finite group G with a Sylow p-subgroup P in X is p-nilpotent if and only if the normalizer of P in G is p-nilpotent. The main results of chapter 2 extend some known results of p-nilpotency of finite groups to hyperfinite groups. We prove:

  - If X is a subgroup closed class of p-groups closed under taking epimorphic images that determines p-nilpotency locally and G is a hyperfinite group with a pronormal Sylow p-subgroup P in the class X, then G is p-nilpotent if and only if the normalizer of P in G is p-nilpotent.

  - If X is a subgroup closed class of p-groups that determines p-nilpotency locally and G is a hyperfinite locally p-soluble group with a Sylow p-subgroup P in the class X, then G is p-nilpotent if and only if the normalizer of P in G is p-nilpotent.

  In chapters 3 and 4 we study the structural influence of the subgroups of infinite rank. The results are collected in the following two papers.

  Ballester-Bolinches, A.; Camp-Mora, S.; Kurdachenko, L.A.; Spagnuolo, F., "On groups whose subgroups of infinite rank are Sylow permutable". Annali di Matematica Pura ed Applicata (4), 195, no. 3, 717-723, 2016, Ballester-Bolinches, A.; Camp-Mora, S.; Dixon, M.R.; Ialenti, R.; Spagnuolo, F., "On locally finite groups whose subroups of infinite rank have some permutable property", accepted for publication in Annali di Matematica Pura ed Applicata.

  Recall that a group G has finite rank equal to r if every finitely generated subgroup of G is generated by at most r elements and r is the least integer with this property. If such an integer r does not exist then we say that G has infinite rank. Furthermore, G has finite section p-rank equal to r if every elementary abelian p-section of G is finite of order at most p^r and there is an elementary abelian p-section of G of order exactly p^r. As before, if such an integer r does not exist then G has infinite section p-rank.

  The properties of subgroups we consider includes permutability, S-permutability, semipermutability and S-semipermutability. The main results of Chapter 3 are:

  - If in a hyper-(abelian or finite) group G with infinite section p-rank all subgroups with infinite section p-rank are S-permutable, then G is locally nilpotent.

  - If in a locally finite group G with infinite rank all subgroups of infinite rank are S-permutable, then G is locally nilpotent.

  - If in a locally finite group G with infinite section p-rank all subgroups with infinite section p-rank are permutable, then G is an Iwasawa group.

  We prove some known results as a consequence of the main theorems.

  In chapter 4, the properties considered are semipermutability and S- semipermutability. The main results are:

  - In locally finite groups with infinite section p-rank whose subgroups with infinite section p-rank are semipermutable, all subgroups are semipermutable.

  - For S-semipermutability, it is proved that in a locally finite group with the minimal condition on p-subgroups for every prime p, if all subgroups with infinite rank are S-semipermutable then all subgroups are S-semipermutable.

  It is presented a counterexample that shows that the minimal condition on the p-subgroups cannot be omitted.

  In chapter 5 all groups considered are finite. We study the immersion of semimodular subgroups of odd order in a finite group. The results presented can be found in the following paper, submitted to a scientific journal:

  Ballester-Bolinches, A.; Heineken, H.; Spagnuolo, F., "On semipermutable subgroups of finite groups". Submitted.

  Some of the results of this chapter are:

  - A finite group, product of a normal supersoluble subgroup and a subnormal semimodular subgroup of odd order, is supersoluble.

  - If a finite group G has a normal supersoluble subgroup N and a subnormal semimodular subgroup of odd order S, then the product NS^G is supersoluble.

  An interesting consequence of the last result is that the normal closure of a subnormal semimodular subgroup of odd order is supersoluble.