Conexiones de Ambrose-Singer y estructuras homogéneas en variedades pseudo-riemannianas

• Autores: Ignacio Luján Fernández
• Directores de la Tesis: Marco Castrillón López (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Complutense de Madrid ( España ) en 2014
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Vicente Muñoz Velázquez (presid.), Javier Lafuente López (secret.), Luis Guijaro Santamaria (voc.), Eduardo García Río (voc.), Vicente Cortés (voc.)
• Materias:
  • Matemáticas
    • Geometría
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Docta Complutense (pdf)
• Resumen

  • La presente tesis doctoral titulada Conexiones de Ambrose Singer y estructuras homogéneas en variedades pseudo Riemannianas Ambrose Singer connections and homogeneous structures on pseudo-Riemannian manifolds trata diversos temas relacionados con la geometría de variedades homogéneas y localmente homogéneas pseudo Riemannianas. Más concretamente abordamos el estudio de este tipo de variedades desde la aproximación de Ambrose Singer, caracterizando la homogeneidad mediante la existencia de una conexión lineal llamada conexión de Ambrose Singer que satisface un sistema de EDPs geométricas. En una primera parte Capítulo 2, y tras hacer un repaso de las herramientas de Geometría Diferencial necesarias para el desarrollo de la tesis en el Capítulo 1, presentamos el Teorema de Ambrose Singer y todas las subsiguientes generalizaciones variedades con estructura geométrica extra, variedades homogéneas pseudo Riemannianas, etc En particular, durante este recorrido demostraremos el Teorema de Kiricenko, que es usado extensivamente, pero del cual no se encuentra una demostración en la literatura. En el Capítulo 3 generalizaremos el Teorema de Ambrose-Singer y el Teorema de Kiricenko a variedades localmente homogéneas pseudo Riemannianas. Para ello será necesario generalizar la noción de reductividad a variedades localmente homogéneas. Además estudiaremos bajo qué condiciones una variedad localmente homogénea puede recuperarse a partir de su curvatura y sus derivadas hasta orden finito en un punto. En el Capítulo 4 presentamos varios resultados de clasificación sobre las llamadas estructuras homogéneas objetos derivados de los Teorema de Ambrose Singer y Kiricenko. Estos resultados nos conducirán a la definición de uno de los objetos principales de estudio en esta tesis las estructuras homogéneas de tipo lineal. En los capítulos 5 y 6 pasamos a estudiar en profundidad las estructuras homogéneas de tipo lineal enmarcadas en las geometrías pseudo Kähler, para Kähler, pseudo cuaterniónicas Kähler y para cuaterniónicas Kähler. Este tipo de estructuras vienen caracterizadas por un conjunto de campos vectoriales, cuya naturaleza causal separará dos categorías muy distintas las estructuras degeneradas y las estructuras no degeneradas. Respecto a las estructuras degeneradas, determinamos la holonomía y la forma local de las métricas subyacentes, y hacemos un estudio intensivo de la completitud de estas métricas. Además relacionamos este tipo de estructuras con las ondas homogéneas planas que aparecen en ciertos modelos de la Física Teórica. Respecto a las estructuras no degeneradas, demostramos que este tipo de estructuras caracterizan espacios de curvatura holomorfa, para holomorfa, pseudo cuaterniónica o para cuaterniónica constante. También estudiamos la completitud de los correspondientes modelos homogéneos. Por último, en el Capítulo 7 estudiamos el comportamiento de las estructuras homogéneas bajo un esquema de reducción. Más concretamente, determinamos un marco de reducción bajo el cual una estructura homogénea definida en el espacio total de un fibrado principal reduce a una estructura homogénea en el espacio base de dicho fibrado. Estudiamos la conservación de los resultados de clasificación bajo este modelo de reducción y aplicamos estos resultados al estudio de estructuras homogéneas Sasakianas y cosimplécticas.